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乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题3 1、抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是的整数部分是 在棱长为的正四面体内任取一点，到四面体四个面的距离分别记为，，，，则在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，，, 在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四面体都相切的球，则此球的半径. 5、若则= 。当且满足的的集合为 。 6、已知的展开式中没有常数项，，且2≤n≤8，则n=______双曲线关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k的值等于求函数的最小值和取最小值时的值圆的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹方程是个数码与集合中的元素建立一个一一对应，后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成求被编成的数所对应的十进制数。 11、数列｛an｝的定义是：，证明，该数列中的项都是正整数。（德国） 12、已知是正数，并且，求证。 乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题3参考答案 1、解法1 设抛物线上的点的坐标是，则它到直线的距离是 ，当时最小，此时.故所求点的坐标是. 解法2 如图，将直线平移至与抛物线相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为，代入，得.由，即，得.解得.故所求点的坐标是. 解法3 设所求点的坐标为P，则过点P的抛物线的切线应与直线平行.而其切线方程为，故，.. 故所求点的坐标为. 解 ，即.取，得49个式子，并相加，得.显然在8与9之间，故. 拓展 将题中改为，得 推广1 当为大于1的自然数时，的整数部分是. 推广2 当为大于1的自然数时，的整数部分是. 证明 ， 令相加得,即 ,的整数部分是. 由于 .同理, ,故又得 推广3 当、为大于1的自然数时，的整数部分是. 解法1 将与正四面体的四个顶点联结，得到以为顶点，正四面体的各个面为底面的四个小棱锥，它们的高分别为，，，, 体积的和等于原正四面体的体积.由于四个小棱锥的底面与原正四面体的底面一样，所以正四面体的高. 解法2 设已知正四面体为，由题意，可知为定值.故不妨令为正四面体的一个顶点，则到面、面、面的距离都是，故就是点到面的距离，即正四面体的高.解：，，两两垂直，，，， ，，，， 设此三棱锥的内切球的半径为，则 ，即，解得解 设点P（x0,y0）是双曲线上任意一点，点P关于直线xy=1的对称点为P’（x,y）,则 ①，又②，解①、②联立方程组得 ③.∵P点在双曲线上，∴ ④.③代入④，得 ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得.由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=，故选B. 解法 由已知函数式，得，两边平方并整理，得，看作关于的方程，由，知，即，得①或②，因为，即，故舍去①，只取②：，将代入已知函数式，得，即当且仅当时，有最小值. 解法 因为，所以设，，则 ，故当且仅当时，有最小值. 证明 如图，易知四边形APBO1为正方形，所以|PO1|=，所以点P的轨迹是以O1为圆心，为半径的圆，其方程是．，两式相减，得：，即 ， （*），记，(**) ，从而 ，，结合，知数列中各项为正。 12、证法1 若与中有一个等于1,那么另一个也等于1,此时,显然. 若且,可将改写为,由此推得(若,则,得,这与矛盾),由此得得 . 证法2 与同号, . 证法3 由及,得 又与同号, . 推广1 设,且,则. 推广2 设,且,其中,则. 推广3 设,且,其中,则. 推广4 设,且,其中, ,则②. 乌鲁木齐市高级中学 杨帆 yf6504@163.com x yx O -2 -2 y=x2 S A B C