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第九章 数 项 级 数 §1 预备知识：上极限和下极限 对于一个有界数列，去掉他的最初项以后，剩下来的依旧是一个有界数列，记 显然，数列是单调减少的，是单调增加的，所以这两个数列的极限存在。称的极限是的上极限，设它为。称的极限是的下极限，设它为。记为 显然：。 定理1 设 则（i）当为有限时，对于的任何邻域，在数列中有无穷多个项属于这个邻域，而在只有有限多个项。 （ii）当时，对任何数，在中波有无穷多项大于。 （iii）当时，数列以为极限。 定理2 设 则（i）当为有限时，对于的任何邻域，在数列中有无穷多个项属于这个邻域，而在只有有限多个项。 （ii）当时，对任何数，在中波有无穷多项小于。 （iii）当时，数列以为极限。 定理3 设为的上极限，那么，必是中所有收敛子列的极限中的最大值。设为的下极限，那么，必是中所有收敛子列的极限中的最小值。 推论1 的充分必要条件为 。 例：设，求它的上下极限。 例：设，求它的上下极限。 §2 级数的收敛性及其基本性质 一 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 从直观上可知，其和为1。 又如， 。 其和无意义； 若将其改写为： 则其和为：0； 若写为： 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义1 给定一个数列，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中称为级数（1）的通项。级数记为：。 二 级数的收敛性 记 ，称之为级数的前项部分和，简称部分和。 定义2 若数项级数的部分和数列收敛于（即），则称数项级数收敛 ，记作 =。 若部分和数列发散，则称数项级数发散。当级数收敛时，又称 为级数的余和。 注：无穷级数的收敛问题，实质上是部分和数列的收敛问题。 例: 试讨论等比级数（几何级数） ， 的收敛性。 例:讨论级数 的收敛性。 三 收敛级数的性质 性质1 若级数都有收敛，则对任意常数，级数也收敛，且 。 性质2 若级数与都有收敛，则级数也收敛，且 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 性质3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： 收敛，而级数 是发散的。 性质4 （收敛的必要条件）若级数收敛，则。 注：只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。 例：级数发散，但。 敛散性是由它的部分和数列来确定的，因而也可以认为数项级数是数列的另一表现形式。反之，对于任意的数列，总可视其为数项级数 的部分和数列，此时数列与级数有 相同的敛散性，因此，有 定理1（Cauchy收敛原理） 级数收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有 。 注：级数发散的充要条件是：存在某个，对任何正整数N，总存在正整数，有 。 例：利用收敛原理来判断级数的收敛性。 例：利用收敛原理来判断调和级数的收敛性。 §3 正 项 级 数 一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由非负项数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 基本定理 正项级数收敛部分和数列有上界。 正项级数的比较判别法 定理1设和均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对都有 ， 那么（1）若级数收敛，则级数也收敛； （2）若级数发散，则级数也发散。 例: 考察的收敛性。 推论（比较判别法的极限形式） 设和是两个正项级数，若 ， 则 （1） 当时，级数、同时收敛或同时发散； （2）当且级数收敛时，级数也收敛； （3）当且发散时，级数也发散。 例: 讨论级数 的收敛性。 例: 讨论级数的收敛性。 柯西判别法 定理2 设为正项级数，且存在某个正整数及正常数， （1）若对，有，则级数收敛； （2）若对，有，则级数发散。 推论（柯西判别法的极限形式）设为正项级数，且