第九章静电场中的电介质与导体.docVIP

第二篇 电 磁 学 ? ? 第一章 静电场和电介质 1-1 两个电量都是+q的点电荷，相距2a，连线的中点为o，今在它们连线的垂直平分线上放另一点电荷q，q与o点相距r。 （1）求q所受的力； （2）q放在哪一点时，所受的力最大？ （3）若q在所放的 位置上从静止释放，任其自己运动，问q将如何运动？试分别讨论q与q同号或异号两种情况。 解：（1）取正交系XOY，原点取在连线的中点O处，见图。设q所受两点电荷q的作用力分别为和 分别为沿x轴和y轴的单位矢量，由对称性可知q所受到的合力为沿y轴的方向。 当q与q同号时，沿y轴的正方向；当q与q异号时，沿y轴的负方向， （2）的最大值应满足对y的一阶导数为零，即 所以当 时，q所受的力在数值上为最大。q所受作用力为： F(y)随y变化如图1-1（b）所示。 （3) 当q与q同号时，q在所放的位置上从静止释放后，便沿着y轴加速远离q，直至无穷远处，当q与q异号时，q从静止释放后，因受力始终指向原点o，因此便以中点o为平衡位置，在y轴上作振动。 ? 当ya时，项及以后各项与1相比均可忽略，则有： 当q与q异号时，F=-ky，由此可见，当ya时，q从静止释放后，将以o为平衡位置，在y轴上作谐振动。 1-2如附图，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为，（1）求轴线上离环中心O为 x处的场强E；（2）轴线上什么地方的场强最大？其值是多少？ 解：（1）取圆环中心O为为坐标轴oxy的原点，圆轴线为x轴，圆环位于oxy平面内。如图 所示，在圆环上任取电荷元dq=λd， 它在p点产生的场强为 由于场强对x轴对称，故各电荷元的y分量相互抵消，只有x方向的分量相迭加，所以 （2）令，则可找出与对应的值 1-3半径为R的圆面上均匀带电，电荷的面密度为σe。 （1）求轴线上离圆心的坐标为x处的场强； （2）当xR时，结果如何？ （3）当xR时， 结果如何？ 解：（1）将均匀带电的圆面分割成无限多个宽度为dr的圆环带如图所示，环带的面积为 所带的电荷为，在轴线上离圆心的坐标为x处的场强为 方向沿x方向。整个带电圆盘在p点产生的总场强： （2）当xR时，则有：，这相当于“无限大”均匀带电平面的场强。可见物理上的“无限大”是相对的。 （3）当xR时，按二项式定理展开下式 这时带电圆面相当于一个点电荷，说明点电荷的概念也是相对的。 1-4一无限大平面，开有一个半径为R的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ。求这洞的轴线上离洞心为r处的场强。 解：设无限 大带电平板的电荷面密度为σ，如图6所示。取轴线方向为ox，在离圆洞中心距离为ρ（ρR）处取一半径为ρ→ρ+dρ的窄圆环。它所带电量为,由均匀带电圆环轴线上任一给定点处的场强度可知： （方向沿x轴正方向） 开有空洞的无限大带电板可以看作无数带电圆环的迭加，p点产生的电场强度方向都相同，故p点场强 1-5氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是。已知质子质量为，电子质量为，电荷分别为C，万有引力常数。（1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。 解：（1）电子所受的库仑力为 （2）电子与质子之间的万有引力 (倍). （3）电子的速度 1-6设一均匀带电圆盘，面电荷密度为 ， 半径，在中心轴线上放置一均匀带电直线(如图所示)，电荷线密度 ， 线长 C， 它靠近圆盘的一端与圆盘的距离 ， 试求圆盘对直线的作用力。 解： 1-7设真空中有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ（σ0），试求平面附近各点处的场强。（得用叠加原理计算） 解：