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将数形结合思想渗透于初中数学教学中 定安中学初中部 古春芳 [摘要] “数形结合”是初中数学中一种重要的思想方法，本文论述了在初中数学教学中可以且应该渗透数形结合思想的八个方面。 [关键词] 数形结合 初中数学教学 什么样的题目可以用数形结合法，没有一个标准的、硬性的规定，一般而言，在初中数学中涉及以下一些内容时可用数形结合法，而且往往更有直观、更有效。 一、实数与数轴上的点的对应关系化简 = 。 利用数轴的直观性，结合实数绝对值的几何意义，结果易得，体现数形结合在解题中的直观与简明。 此外不等式的解集也很好地反映了数形结合思想。 如求不等式 的非正整数解。 利用数轴将不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到的数有无限多个，但满足条件的非正整数只有-2、-1、0三个，说明数形结合更能深刻地反映不等式解集的几何意义。 二、应用题的解答可借助数形结合思想 甲、乙两地相距23千米，A从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地返回到乙地，若A、B同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小时，求两人的速度。 分析：这是一道已知条件十分复杂的应用题，将数与形结合，借助图形来分析，就直观、清楚多了。A、B所走的路程可用下图表示：从图中可清楚地看到，A、B两人从出发到最后相遇正好共走完了甲、乙两地间距离的3倍，即等量关系为：A走的路程 + B走的路程 =23×3。如果设B每小时走千米，则A每小时走千米，由于两人途中都停留了一段时间，A实际走小时，B实际走小时，由此就不难列出方程：， 得出， 由此可见，数与形的有机结合，确实能为解题带来方便，它能使抽象的问题形象化、直观化，复杂的问题简单化，两者之间的互助与联通能开辟出解题捷径，是一种有效的解题策略。 三、所式结构有几何意义。例1：求和：S = 引导学生观察所求式子，发现后一项均为前一项的，而又正好是1的一半，由此想到构造一个面积为1的正方形，再将其不断地等分……如图所示，从而得到S=1－= (04年全国初中数学竞赛海南赛区初赛试题) 例2： 此题通过化简不等式左边也可得证，但比较繁杂，可引导学生试用简便些的方法去求解，观察所给代数式的结构含有明显的几何意义，可以看作分成两组线段之和不小于即可，而可以由边长为1 的正方形的对角线作出来。 证明：如图，作出边长为1 的正方形ABCD，设AH=a ，AE=b ，EF∥AD，HG∥AB，则有 AC = BD =，在△APC中，PA+PC≥AC =，---------① 在△BPD中，PB+PD≥BD =，---------② 由 ①+②，得PA+ PB+ PC+ PD≥，结论得证。 此题充分挖掘了数形结合的巧妙构想，发挥了逻辑思维和形象思维的互助功能，这种数形结合思维的训练可以开阔学生的思路，打破常规的思维定势，培养学生细心观察、大胆猜想，善于横纵向思考问题的综合解题能力。 四、函数及其图象巧妙凸现数形结合思想 “函数及其图象”是初中数学的一个重要内容，同时也是一个难点内容，有关函数的问题让许多学生感到畏惧。其实函数与方程、不等式之间有着非常密切的联系，在解题时要善于将它们“牵手”，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，往往会使很多问题迎刃而解，且解法简捷。分析：从表中选取两对对应值x＝0，y＝1；x＝1，y＝0作为点的坐标，在平面直角坐标系内画出y＝kx＋b的图象，不等式kx＋b＜0的解集就是直线y＝kx＋b在x轴下方部分所对应的自变量x的取值，由图可知，当y＜0时，x的取值为x＞1，所以不等式kx＋b＜0的解集为x＞1，故选D。 解此题的关键是将它们对应的形与数结合起来，从形的角度看，是求直线在x轴下方所对应的自变量的取值范围，从数的角度看，是求不等式的解集。 例4、已知方程x2－2px＋10＝0有一个根大于1，另 一个根小于1，求p的取值范围。 分析：由二次函数与一元二次方程的关系知：方程 x2－2px＋10＝0的两个根是抛物线y＝x2－2px＋10与x轴的两个交点的横坐标，因为一根大于1，另一根小于1，所以抛物线与x轴的两个交点一个在1的左边，另一个在的右边，且开口向上，如图可知当x＝1时，函数值y＜0，即12－2p＋10＜0，故p＞5.5 此解法利用函数图象的直观性，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，化难为易，充分体现了数形结合解题的有效性。 以上两例是有关函数与不等式、方程的问题，解这类题时要善于将问题中的数与形结合起来进行思考，将抽象思维与形象思维融合在一起，通过“以形助数”“以数解形”的思想策略，揭示出隐含在其内部的几何背景，使复杂的问题简单化，抽象