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第 7 章 內積空間 線 性 代 數 * 本章內容 7.1 內積空間 7.2 非歐基里德幾何及特殊相對論 7.3 函數近似與編碼理論 7.4 最小平方曲線 * 7.1 內積空間 定義： 一個實數向量空間Ｖ中的內積為一個對應特定常數之函數，註記為 〈u, v，其中u, v為Ｖ中的一對向量；對向量u, v, w及純量c而言，內積函數必滿足下列性質。 1.〈u, v〉=〈 v, u〉 （對稱性質, symmetry axiom） 2.〈u + v, w〉=〈u, v〉+〈u, w〉 （加法性質, additive axiom） 3.〈cu, v〉= c〈u, v〉 （同質性質, homogeneity axiom） 4.〈u, u〉? 0, 而〈u, u〉= 0若且唯若u=0 (正定性質, positive definite axiom) * 7.1 內積空間 例題1:令 u = (x1, x2), v = (y1, y2), 及 w = (z1, z2)為中任意向量，試證明滿足下列定義之函數是的內積函數 〈u, v〉= x1y1 + 4x2y2,並求(-2, 5), (3, 1)二向量之內積 解: 性質 1:〈u, v〉= x1y1 + 4x2y2 = y1x1 + 4y2x2 =〈v, u〉 性質 2:〈u + v, w〉=〈 (x1, x2) + (y1, y2) + (z1, z2) 〉 =〈 (x1 + y1, x2 + y2), (z1, z2) 〉 = (x1 + y1) z1 + 4(x2 + y2)z2 = x1z1 + 4x2z2 + y1 z1 + 4 y2z2 =〈(x1, x2), (z1, z2)〉+〈(y1, y2), (z1, z2) 〉 =〈u, v〉+〈u, w〉 * 7.1 內積空間 * 7.1 內積空間 例題2: 2 × 2矩陣組成的向量空間M22，令u, v為定義如下之2 × 2矩陣, M22之內積定義為〈u, v〉= ae + bf + cg + dh 求解 及 二矩陣之內積 解: * 7.1 內積空間 向量之範數 令V為一內積空間，該空間中任意向量v之範數，註記為 ||v|| ，定義為 向量之夾角 * 7.1 內積空間 例題4:考量向量空間Pn之內積及函數f的範數定義如下,求解之f(x) = 5x2 + 1範數 解: * 7.1 內積空間 例題5:具有下列內積及夾角定義之內積向量空間Pn，求f(x) = 5x2 and g(x) = 3x二函數間夾角之餘弦函數 解: * 7.1 內積空間 正交向量 距離 複數向量空間Cn之內積 * 7.1 內積空間 例題6: 試證明中之Pn函數 f(x) = 3x-2與g(x)=x 在內積定義下互為正交 解: * 7.1 內積空間 例題7: g(x) = x2–3x+5 與 h(x)= x2+4何者較為接近 f(x) = x2 解: * 7.1 內積空間 例題8:考量C2空間中二向量u = (2 + 3i, –1+5i), v = (1+i, -i)，試計算 (a)〈u, v〉，並證明u, v為正交 (b) ||u|| 與 ||v|| (c) d(u, v) 解: * 7.4 最小平方曲線 W擬反矩陣(pseudoinverse) 令A為一矩陣，則矩陣(AtA)-1At稱為之擬反矩陣，註記為pinv(A)。 Ax =y (系統) ? x = pinv(A)y (最小平方解) * 7.4 最小平方曲線 例題1:試求矩陣 之擬反矩陣 解: * 7.4 最小平方曲線 例題2: 求下列過定方程式系統之最小平方解 解: * 7.4 最小平方曲線 例題3:求下列已知數據點之最小平方曲線 (1, 1), (2, 2.4), (3, 3.6), (4, 4) 解： 令最小平方曲線為線性方程式y = a + bx * 7.4 最小平方曲線 例題4:求下列已知數據點之最小平方拋物線(1, 7), (2, 2), (3, 1), (4, 3) 解: 令最小平方拋物線方程式為y = a + bx + cx2 * 習題: 綜合習題 2,3,5,8,9 本 章 結 束 ! * * *