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Bezier 曲線起於 P0 而終於 Pn。 我們可以得到以下的導數公式： 因而 Bezier 曲線在 P0 的切向量方向和向量 P0P1 一致。 這是因為 根據前頁的公式： Bezier 曲線在 Pn 的切向量方向和向量 Pn-1Pn 一致。 這是因為 【範例】 立方 Bezier 曲線 立方 Bezier 曲線可由四個控制點 P0, P1, P2, 和 P3 來定義。 Composite Bezier Curve 使用 Bezier 曲線來定義 字型的外框 de Casteljaus algorithm 証明： 令 Cn(t, P0,…, Pn) 代表由控制點 P0,…, Pn 所定義的 n-階 Bezier 曲線。我們可以得到以下的公式： Cn(t, P0,…, Pn) = (1- t) Cn-1(t, P0,…, Pn-1) + t Cn-1(t, P1,…, Pn) 証明： 舉 n =2 為例， 我們可以導出以下的遞迴關係式： * 繪製平面曲線 靜宜大學資工系 蔡奇偉 副教授 2001-2006 大綱 基本概念 繪製顯函式的圖形 隱函式 參數曲線 立方參數曲線 Hermite 立方曲線 混合函數 Bezier 曲線 B-Spline 曲線 基本概念 繪製任意平面曲線的方法是用一些短線段來逼近曲線。線段數愈多，逼近的效果愈好，但計算時間也相對提高。有時，為了線段的數目以提高繪製的效率，我們可以在曲率大的地方，使用較多的線段，在曲率較小的部份，使用較少的線段。 繪製顯函式的圖形 對任意的顯函式（explicit function）y = f(x)，下列的演算法用 n 條線段來繪製 f(x) 介於區間 [a, b] 的圖形。 dx = (b – a) / n; glBegin(GL_LINE_STRIP); for (x = a; x = b; x += dx) glVertex2f (x, f(x)); glEnd(); a b 隱函式 有些曲線（如圓形）無法用前一頁所說的顯函式來定義。但這些曲線可用隱函式 f(x, y) = 0 來定義，如： (u,v) r a b (u,v) 圓： 橢圓： conic sections (二次錐線): 然而，隱函式並不適合用來繪製其所代表的曲線。原因在於我們必須求出滿足方程式 f(x, y) = 0 的解，在多半的情形下，方程式的解並不容易算出來。 參數曲線 (x(0), y(0)) (x(T), y(T)) 從另一個角度來看，曲線是一個「粒子」運動所行經的軌跡。這個軌跡可以用參數式 P(t) = (x(t), y(t)), 0 ￡ t ￡ T, 來描述。 P(t) 代表於 t 時間「粒子」所在的位置座標，所以 P(0) = (x(0), y(0))是曲線的起點，P(T) = (x(T), y(T)) 是曲線的終點。 參數曲線 P(t) 在 t 時間位置的切向量（ tangent vector ）是： (x(0), y(0)) (x(T), y(T)) 斜率（ slope ）則是： 切向量表示運動的方向 斜率表示運動的速度 範例一：直線 假定已知兩點 P0 = (x0, y0) 和 P1 = (x1, y1) ，如上圖所示。則通過這兩點的直線參數式如下： 令 P(t) = (x(t), y(t))，則 範例二：以原點為圓心且半徑為 1 的單位圓 以下三個參數式都滿足公式 x2 + y2 = 1，所以都會產生單位圓的曲線。 雖然三者都是單位圓的參數式，不過就如下一頁的圖形所示，等分參數區間所得的逼近線段，三者並不相同。其中， (2) 最均勻，但是 (3) 的計算最簡易。 對任意的參數式 P(t) = (x(t), y(t)) ，下列的演算法用 n 條線段來繪製 P(t) 介於參數區間 [a, b] 的圖形。 dt = (b – a) / n; glBegin(GL_LINE_STRIP); for (t = a; t = b; t += dt) glVertex2f (x(t), y(t)); glEnd(); 立方參數曲線 從解析幾何的觀點來說，若要用多項式來定義連續且平滑的曲線，則最少必須用立方多項式。立方參數曲線的定義如下： 其中的 aix 和 aiy, i = 0, 1, 2, 3 是方程式的係數。 也可寫成底下的矩陣形式： 令 則 P(t) 可寫成： Hermite 立方曲線 Hermite 立方曲線用兩個端點與端點上的切向量來唯一定義一條立方曲線。給定兩點 P(0) 和 P(1) 與切向量 P’(0) 和 P’(1) ，如下圖所示： P(0) P(1) P(t) 我們想找出滿足這些條件的立方參數曲線 P(t)（如上圖所示） 由於 代入前述的端點條件後，我們的問題變成