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Chapter 6 理想不可压缩流体无旋运动 本章内容：研究定常不可压缩理想流体的无旋流动 1、无旋流动的速度势及一般求解方法 2、平面无旋流动的复势及一般求解方法 §6.1不可压缩理想流体无旋运动的基本方程组 一、不可压缩理想流体无旋运动模型 1）理想：粘性力惯性力的区域 例如绕流问题中边界层以外区域的流动。不脱体绕流流动在研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流固体的流动。 2）不可压缩：液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速声速），例如飞机速度100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运动中（如浸没在静止流体中的小球膨胀引起的运动）和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。 二、速度势 无旋运动可设，。 速度势的单值和多值问题： 单连通区域单值；复连通区域多值，相差的整数倍，其中是内边界上的速度环量。例如定义在环形区域上的平面无旋流动（点涡诱导的流动）。 三、基本方程组 或 关于速度场的求解化为求解满足一定边界条件的Laplace方程问题，是否线性问题取决于边界条件。在线性边界条件下此方法已将原本非线性的求速度场的问题化为线性问题。若速度势满足的边界条件是线性的，在满足迭加原理，可由基本解迭加求得。例如若和均为无穷远均匀来流绕流某一固壁边界C的流动，即 ， 则均匀来流绕流该固壁边界的流动其速度势为。反之，流动也可分解为和流动的合成。 附：无旋运动的一般特性 空间D内的不可压缩无旋流动速度势满足：，因而是调和函数，具备调和函数的一般性质，包括： ① ② 在D无极值，在D无最大值，在D不能达到最小值； ③ 动能表达式 单连通区域： 双连通区域： ④ 由③可得出以下结论 有界单连通区域若边界上有则流体静止，流体内处处有； 有界单连通区域若边界上有则流体静止，流体内处处有； 有界单连通区域若部分边界上有，其余边界上有，则流体静止，全流场有。 ⑤ 开尔文最小能量原理： 在单连通区域内的不可压缩流动，如果给定边界上流体的法向速度，则在所有可能的运动形式中，将以无旋流动的总动能为最小，即有旋运动总动能大于无旋运动总动能。 附Laplace方程解的唯一性 关于 Laplace方程的解，其一般形式，存在性和唯一性在数学上有一整套的理论，在以下条件下，该方程有唯一解： ①有界单连通区域给定边界上或，或给定部分边界上的和其余边界上的。 证明：设同一边界条件下有两个解和，则满足 ②有界双连通区域：单连通域条件+给定内边界速度环量（或给定分隔面上的流量）例如两柱壳间区域内的旋转流动。 ③无界双连通区域：例如物体外流动、点源的场等。设无穷远为的大球面，可将②直接推广过来。 §6.2 理想不可压缩流体平面定常无旋流动 一、平面运动模型 流动参数沿三维空间的某一方向（取为轴）不变，并且速度矢量落在与该方向垂直的平面内： 。 最简单的模型：均匀来流绕流无限长柱体。 可近似看成平面流动的实例：河水绕流桥墩，空气绕流烟囱，机翼绕流等。在这些流动中，物体的某一方向的尺度其它两方向的尺度（细长物体），且物体垂直于该方向的截面大小、形状变化很小，故被绕流的物体可近似看成是均匀截面的细长柱体。均匀截面的细长柱体的横向绕流流动，除柱体两端外，在柱体周围的大部分区域有 ， 任一垂直于的平面上的流动可表征除两端以外的区域内的流动。 此模型使问题进一步简化，更易于求解，研究平面运动还具有重要的理论意义，通过它的研究可以对流动的性质有更多的了解，并积累处理问题的方法，所有这些都是处理复杂流动问题所必需的。 二、不可压缩平面流动的流函数 1、不可压缩流体平面流动流函数的引入 设流动在平面内, 证明： 若则可以表示为某一函数的全微分，设此函数为，则 于是有。 若存在函数，速度分量可以表示为，则代入即可证明。 函数被称为流函数， 此积分因是全微分的积分而与路径无关，只取决于、点的位置。若取为参考点可设。 2、 流函数的物理意义： 二维流动流体体积通量的意义： 通过平面上与连线的流体体积通量 通过曲线沿平移单位距离时扫过的曲面上的流体体积通量。 对不可压缩流体的流动，在无源或汇的区域，此通量与连线形状无关，只取决于与两点的位置。 设通量向右为正，代表线元向右的法向，通过的向右的流体体积通量I=通过沿两坐标轴的投影线元上的向右的流体体积通量II+III，即 。可见： 是上的流体体积通量， 代表流体向右流过。 讨论： ①沿某曲线此曲线是流线 证明： 若沿某曲线，在该曲