离散数学 第2版 作者 王元元 离散第14，15讲 谓词演算永真式(上,下).pptVIP

第14讲 谓词演算永真式 量词嵌套语句的谓词形式化 每个人都有些缺点 M(x): x是人；F(x): x是缺点；H(x,y):x有y ?x (M(x)→ ?y(F(y)∧H(x,y))) 每个人都有人爱，但没有人为所有人爱 M(x)：x是人，L(x,y)：x爱y ?x (M(x)→?y(M(y)∧L(y,x)))∧ ┐?x (M(x)∧?y(M(y)→L(y,x))) 有且仅有一个偶质数 P(x)：x是偶数；Q(x)：x是质数 ?!x(P(x)∧Q(x)) ?x(P(x)∧Q(x)∧?y(P(y)∧Q(y)→x=y)) ?x(P(x)∧Q(x))∧?x?y(P(x)∧Q(x)∧P(y)∧Q(y) →x=y) 量词嵌套语句的谓词形式化 并不是火车都比汽车跑的快，有的汽车比有的火车跑的快 T(x): x是火车；C(x): x是汽车；F(x,y):x比y快 ┐?x (T(x)→?y(C(y)→F(x,y))∧?x(C(x)∧?y(T(y)∧F(x, y) ┐?x?y(T(x)∧C(y)→F(x,y))∧?x(C(x)∧?y(T(y)∧F(x, y) 有位妇女已搭乘过世界上每一条航线上的航班 W(x)：x是妇女；L(x)：x是航线；F(x)：x是航班 Q(x, y)：x是y航线上的航班； P(x, y)：x搭乘过y航班 ?x(W(x)∧?y(L(y)→?z(F(z)∧Q(z,y)∧P(x, z)))) 谓词演算永真式（上） 回顾 回顾 回顾和展望 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影。所以，她去游泳了 p:马芳下午去看电影; q:马芳下午去游泳 前提： p∨q， ┐p 结论： q (p∨q)∧┐p┝ q， (p∨q)∧┐p→q为永真式 所有人都是要死的，苏格拉底是人，那么苏格拉底也是要死的 M(x): x是人；D(x): x是要死的 前提： ?x(M(x)→D(x)),M(Socrates) 结论： D(Socrates) ?x(M(x)→D(x))∧M(Socrates)┝D(Socrates) ? ?x(M(x)→D(x))∧M(Socrates)→D(Socrates) 为永真式? 解释与谓词公式的真值 定义：将公式中的谓词、函数符号、常元符号对应于个体域上具体的性质、关系、函数、对象，这种对应关系称为解释，常用大写字母I表示 I恒把命题常元解释为真值0或1 谓词公式真值的确定 确定个体域 给定一个解释（谓词、函数符号、常元符号） 将自由变元指派到个体域中具体的个体 谓词公式的真值 个体域 D1={3, 4} D2={3, 5} 谓词公式的真值 个体域 D1={3, 4} D2={3, 5} 谓词公式的多层次真值概念 我们给谓词公式定义以下四个层次的真值概念 1、在确定的域D上，在D上确定的解释I下，?指派下真 2、在确定的域D上，解释I下真 3、在域D上真(D上永真) 4、永真式——在一切域D上永真，即对每一个域上的一切解释下，对每一解释的任一指派下均为真 谓词公式的真值 P(x) 个体域{﹣1，2}，P(x)的解释：x0，把2指派给x， P(2)为假，故P(x)不是永真的 ?x(P(x)∧Q(x))∧?x(P(x)∧R(x))→?x(Q(x)∧R(x)) 个体域{1，4} 解释为：P(x)表示x0，Q(x)表示x=1，R(x)表示x是偶数 公式为假，非永真式 ?xP(x) ??xP(x) 只有一个元素的个体域D上，总是D上永真的 当D中的成员个数大于1时，它就不再是D上永真了 ?x(P(x)∨┐P(x)) ?xP(x)→?xP(x) 可满足式与不可满足式 定义：公式A称为可满足的，如果能够找到某一个体域，该域上的某种解释，以及对公式中变元的某一种指派，使得A在此个体域、解释和指派下为真。否则称A为不可满足的，或永假式 当A为永真式时，┐A一定是永假式；反之亦然 逻辑等价和逻辑蕴涵 定义：设A和B是谓词公式，如果A?B为永真式，即对一切的域、每一域上的一切解释、以及每一解释下个体变元的任一指派，A和B都具有相同的真值，则称A逻辑等价于B，记作A┝┥B 定义：设A和B是谓词公式，如果A→B为永真式，即对一切的域和每一域上的一切解释，任一使A真的个体变元指派均同时使B真，则称A逻辑蕴涵B，记作A┝ B ┝ B表示B永真 ?┝ B 由命题演算重言式得到的谓词演算永真式 命题是0元谓词，命题公式是谓词公式的一个子集 所有命题演算中的重言式都是谓词演算的永真式 命题演算中的逻辑等价式都是谓词演算中的逻辑等价式 命题演算中的逻辑蕴涵式都是谓词演算中的逻辑蕴涵式 由命题演算重言式得到的谓词演算永真式 命题演算的重言式中，同一命题变元用相同的谓词公式代替后所得的仍是永真式 谓词演算特有