第五章5矩阵的相似对角化.pptVIP

线性代数 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30 答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@buaa.edu.cn 第五章 矩阵的相似变换 §5.1 方阵的特征值和特征向量 §5.2 矩阵的相似对角化 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 §5.2 矩阵的相似对角化 5.2.1 相似矩阵 5.2.2 矩阵的相似对角化 5.2.1 相似矩阵 定义5.2.1 设A、B为两个n阶矩阵，若存在n阶可逆阵P使 称矩阵A与B相似，记为A∽B。 用可逆矩阵P对A作运算P-1AP，称为对矩阵A进行一次相似变换. (1) 反身性: 对任意n阶方阵A，有A∽A; 矩阵的相似还具有以下运算性质: (3) 传递性: 若A∽B，且B∽C，则A∽C. (2) 对称性: 若A∽B，则B∽A; 相似是矩阵之间的一种关系.这种关系满足下面三个性质: (3) 若P-1A1P = B1 ， P-1A2P = B2，则P-1A1A2P = B1B2.特别，若A∽B，则Ak∽Bk，k为正整数; (4) 若A∽B，f (x)是一个多项式，则f (A)∽f (B). 以上运算性质可以用来简化矩阵的计算. (2) 若A∽B，则kA∽kB， k为常数，k∈P 成立; (1) 若P-1A1P = B1 ，P-1A2P = B2，则 ; 矩阵的相似具有以下运算性质: 相似矩阵的下述性质，称为相似不变性。 定理5.2.1 设A∽B，则有 (1) R(A)= R(B)，此处R(A)，R(B)分别是 A、B的秩; (3) A可逆时B也可逆，反之亦然.当A可逆 时还有A-1∽B-1. (2) ; 由于|A|=|B|,故|A|≠0时|B|≠0，即A可逆时B也可逆,反之亦然. 且 证 (1)和(2)是显然的，只证(3). 即 . 证毕。 定理5.2.2 相似的矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. 证 设A∽B，则有可逆阵P使P-1AP=B， 从而 这样，A与B有相同特征多项式.从而有相同的特征值. 证毕. 注：定理5.2.2的逆是不成立的.特征多 项式相同的矩阵未必是相似的.如 的，因为A是单位阵，而与单位阵相似的矩阵只能是其本身. ，但A与B不是相似 相似的矩阵有相同特征值. 如果能找到与A相似的较简单的矩阵，则可简 化许多问题的处理. 在n阶矩阵中，对角矩阵是比较简单的矩阵. 那么一个矩阵什么情况下能相似于对角矩阵呢? 5.2.2 矩阵的相似对角化 给定n阶方阵A，怎样在A相似的所有方阵中找出一个最简单的方阵? 换言之，如何寻找可逆方程阵P使P-1AP= B成为对角阵呢? 则称A是可相似对角化的方阵，简称为A为可对角化. 下面的例子说明，并非所有方阵都能对角化. 定义5.2.2 设A是数域P上的n阶方阵.如果存在P上可逆阵P，使得 例5.2.1 取复数域C上的二阶矩阵: 则A在复数域上不能对角化. 证 设若不然,则存在可逆矩阵 ，λ1 ， λ2∈P. 于是 使 即 比较两边元素有 由于P可逆，c，d不能同时为0，不妨设c≠0，则有λ1=1，再由第一式有c=0，这导致矛盾.此矛盾说明不可能存在可逆阵P使P-1AP成对角形.即A在复数域C上不能对角化 。 那么，什么样的矩阵是可以对角化的呢? 如果A可相似对角化，则存在可逆阵P使 从而有 记α1,α2，…，αn为P的列向量，则有 即 从而 (5.2.1) 由于P可逆，则α1，…，αn线性无关. 因此，要使A可对角化，A必须有n个线性无关的特征向量，而与A相似的对角形矩阵中的λi(i=1, …,n)则是A的特征值. 以上分析说明，矩阵A是否可对角化，与A的特征值、特征向量的状况有密切关系 定理5.2.3 n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 证 必要性上面已经证明.下面证充分性.设A有n个线性无关的特征向量α1α2，…，αn，分别属于特征值λ1，λ2，…，λn，则有 以α1，α2，…，αn为列向量作矩阵P ，则P可逆，且 即 从而A可相似对角化. 证毕. 推论 若n阶矩阵A在数域P中有n个不同的特征值，则A可对角化. 证 设 λ1，λ2，…，λn∈P是A的n个不同的特征值.α1，α2，…，αn是分别属于它们的特征向量，由定理5.1.4可知 α1，α2，…，αn线性无关，从而由定理5.2.3，A可相似对角化. 由例5.2.1可以看到，并非任何矩阵都可相似对角化，这个推论给出的只是方阵相似于对角形矩阵的一