第二章随机过程.pptVIP

§3 随机过程的分类 之前按照参数和状态对随机过程进行了简单的分类 随机过程可以按照不同的标准进行分类. 本节详细讨论随机过程的分类 一.按参数集与状态连续还是离散分类 （1）离散时间离散状态（２）离散时间连续状态 （３）连续时间离散状态（４）连续时间连续状态 五.按是否具有二阶距来分 三.按增量的性质来分　 四.按是否具有马氏性来分来分 二.按样本轨道连续与否来分 一.按参数集与状态连续还是离散分类 （1）离散时间离散状态 伯努利过程：T=N, S={0,1},设X1，X2，······，Xn ， ······ 独立同分布于0-1分布，则称{Xn ，n∈N}为伯努利过程. （2）离散时间连续状态 严高斯白噪声：T=N, S=R,设X1，X2，······，Xn ， ······ 独立同分布于N(0,1)分布，则称{Xn ，n∈N}为严高斯白噪声. （3）连续时间离散状态 相互独立的随机变量序列 例1. 考察 [0，t]时间内某网站收到的访问次数N(t), 则N(t) (Nt)是一个随机变量． 分析该随机过程的特点 （4）连续时间连续状态 高斯过程(正态过程） T=R, S=R 设{X(t), t ∈T }是取实值的S.P. ,若对任意的n≥1及t1,t2,…,tn∈T,{X(t1), X(t2), …, X(tn)}是n维正态 随机变量, 则称S.P. {X(t), t ∈T}为正态过程或高斯过程 其中Ａ ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布. 例２. 具有随机初位相的简谐波 注意 若{X(t),t∈T}是一族正态随机变量, 但{X(t),t∈T}不一定是正态过程. (2) 正态过程的有限维分布由其均值函数 与相关函数完全确定. (3) 正态过程是二阶矩过程. 例.假设Xt是正态过程，验证其有限维分布函数完全有它的均值函数和相关函数确定 二　根据轨道连续与非来分 样本轨道连续的随机过程 样本轨道非连续的随机过程 二.根据样本轨道是否连续来分 三.根据增量的性质来分 1.正交增量过程 2.独立增量过程 3.平稳增量过程 1.正交增量过程 定义 设{X(t), t∈T}是二阶矩过程，若对任意的 t1t2 ≤ t3 t4∈T 都有 则称S.P. {X(t),t∈T}是一正交增量过程. 注: 这里 X,Y=E[XY]可视为内积 例2.3.10 设{X(t), t∈[a,b]}是正交增量过程, 且X(a)=0,则 (2) ΦX(t)是单调不减函数 (1) 2 独立增量过程 设{X(t),t∈T}是一是S.P. 如果对　　　　　 是相互独立的随机变量，则称{X(t),t∈T}是独立增量过程． 以及 有 如果对于任意 st∈T, X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，而与s, t本身取值无关，则称{X(t),t∈T} 为平稳增量过程． 如果S.P.{X(t),t∈T}既是平稳增量过程，又是独立增量过程，则称{X(t),t∈T} 为平稳的独立增量过程． 3.平稳增量过程 四.根据过程的马尔科夫性来分 1.马尔科夫过程 2.非马尔科夫过程 二阶矩过程 定义　若S.P.{X(t),t∈T} 满足， 则称Ｓ.Ｐ.{X(t),t∈T}是二阶矩过程． 五．按二阶矩存在与否非分 注 二阶矩过程的均值函数与相关函数一定存在 可利用均值函数和相关函数讨论二阶矩阵过程 的性质. 与二阶矩过程有关的不等式 间森不等式（Jensen’s equation) X是随机变量，如果对任意凸函数满足 则 柯西—施瓦兹不等式 X,Y是具有二阶矩的随机变量. 它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。 六.按统计特性来分 分布函数不随时间的变化而变化，即 严平稳随机过程 非严平稳随机过程 七.按随机过程的功率谱分类 白噪声 有色噪声 正态随机变量补充 补充:n维正态随机变量分布及性质 本节举例 独立的r.v.，且都服从正态分布N(0,σ2),ω是常数． 设S.P. 试证明 该过程是正态过程，并求它的有限维分布． ,其中A,B为相互 例子2 设随机变量 下面证明二维随机变量 服从正态分布 事实上 则他们相应的雅克比行列式为 因此 联合概率密度函数为 本章作业 1, 2, 5, 6, 7, 9