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第二章考研数学导数部分.ppt
1、四则运算求导法则(略) 初等函数的求导问题…利用公式和法则 例1.设 例2. 例3.设 一、高阶导数的概念 二. 几个高阶导数公式(记住) 三、高阶导数的运算法则 例4 (1) 设 例5. 设 例5. 设 例5. 设 一、隐函数的导数 说明: 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 又如, 二、由参数方程确定的函数的导数 若上述参数方程中 例2. 设 三、相关变化率 例4. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 若函数 微分的几何意义 二、 微分运算法则 关于变限定积分函数的求导关键是掌握下面的情况: ( ).2000年 ( ).95年 令x - t = u 例 例 函数 连续, 并讨论其在x=0处的连续性. 求 ( 97年数一、二) 解: 首先 (常数) 例 令x t = u x≠0时, 0 x 所以, 表达成分段函数 所以… 均可用数学归纳法证明 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼兹(Leibniz) 公式 及 设函数 (二项式定理) 它特别适用于u或v中有一个为多项式且次数不高的情况. 用数学归纳法证明 例1 解 另解: 求 则 例2 解 另解:可利用莱布尼茨公式,但不如利用泰勒公式简单 求 所以 (x,x2的系数为零) (2000年数二) 注: 见下页 例2 另解: 求 (2000年数二) 时, 例3. 求下列函数的 n 阶导数 解: 解: (3) 解: 解: 则 解: 各项均含因子 ( x – 2 ) (2) 已知 任意阶可导, 且 时 解: 则当 (90选择数一、二) 求 解: 即 用莱布尼兹公式求 n 阶导数 令 得 由 得 即 由 得 求 解: 则 0 (下列做法对数二不要求) 的系数: 求 另解: 则 0 的系数: 的系数: =0 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) §2.4 隐函数和由参数方程确定的 函数的导数 相关变化率 解出 F F y x 1) 对幂指函数 可用对数求导法求导 : 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 对 x 求导 (扩大了…的范围) 或x1时, 同理,当 1x2; 2x3;3x4; 4x时, 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 关系, 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . (充分利用微商及一阶微分形式的不变性) 曲线 处的切线方程( ). 例1. 直角坐标形式 解: 曲线 斜率 (97年) 或 , 且 求 解: 例3.设由方程组 求 解:方程组两边求微分得 故 (注意利用一阶微分形式不变性) 确定函数 97年数二(5分) 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 (2010考到此知识点) 其速率为 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为? , 则 两边对 t 求导 已知 h = 500m 时, 2010 数二填空题 (13)长方形的长以2cm/s增加,宽以3cm/s增加,则当长为 12cm,宽为5cm时,对角线增加的速率为( ). 3cm/s 面积增加的速率为( ) 46cm/s 的微分, 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微, §2.5 函数的微分 一定义: 当 很小时, 则有 从而 所以导数也称作微商 切线纵坐标的增量 为自变量的微分, 可记作 记 的几何意义 构成微分三角形. 基本初等函数的微分公式 (见 教材) 只要有基本初等函数的导数公式: 就对应一个基本初等函数的微分公式: 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变!!! 5. 复合函数的微分 则复合函数 变限积分函数求导的一般结论:设 可导, 为连续函数,则 两边对 x 求导得, 证: 若被积函数含x,则… 变限定积分的导数问题! 注意:被积函数只能是积分变量的函数,不能含变限中 的变量,如果出现则按下列方法处理. 1. 设f(x)连续
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