概率论与数理统计第2版 作者 宗序平 主编 概率统计4.5.pptVIP

二、性质 三、逆转公式与唯一性定理 正态分布 均匀分布 指数分布 分布 分布 分布 多元正态分布 一、密度函数与特征函数 其二阶中心矩定义为 则X 的数学期望定义为 记 其中 为随机变量 的方差，协方差有下列性质： 由上述定义可以看出：协方差阵的对角元素为 （1） 为对称阵即 （2） 为非负定矩阵，记为 称 为协方差矩阵，也称为随机向量 的方差， Proof: （1）显然 （2） 所以 非负定 （3） X为n维随机向量，A,B为n阶方阵，则 对于n维 的n元正态分布的定义为 Proof 则 Th1、若 则 由于 为正定阵，则存在可逆阵P，使 令 Proof: 令 Pf: 不相关. Th2、若 则 独立的充要条件为: 相互独立，则根据独立性 与不相关概念知 不相关. 若 不相关，则 由特征函数的性质知： 相互独立。 Th3、若 A为n阶矩阵，则 Proof: 即正态分布的线性组合仍服从正态分布 （柯赫伦定理） 设 且 型，则 相互独立且 其中 关于 的非负定二次 是秩为 Pf: 显然； * * 一、概念 Def. 1. 设X,Y 为(?, ?,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量, 则称Z=X+iY 复随机变量, i2=-1. 性质1 Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究 性质2 二维r.v. (X, Y) , 有如下性质： 独立 Z1, Z2 独立 (1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2) § 4.5 特征函数(Characteristic Function) 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： (2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为独立复随机变量, 则E [Z1 Z2]=EZ1 E Z2 Def. 2. 设X为(?, ?,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特 征函数(c.f.)定义为 Remark1: Euler公式为 Remark2: 特征函数是关于实变量t的复值函数,由于 所以特征函数对一切实 数t 均有意义. Remark3: 特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的特征函数 ?若离散型随机变量X的分布律为 则其特征函数为 ?若连续型随机变量X的p.d.f.为 则其特征函数为 即为 的Fourier变换. 重要分布的特征函数: EX1 退化分布I(x-c)的特征函数 EX2 0-1分布B（1，p)的特征函数 EX3 二项分布B（n，p)的特征函数 EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数 EX5 Gamma分布 的特征函数 EX6 正态分布 的特征函数 性质1 为某随机变量的特征函数，则 (1) (3) 是连续函数. (2) 非负定，即 为复数，则有 注：上述三条性质为特征函数的特征性质， 满足这三条性质，则其必为特征函数。 (2) 非负定， 证明 (1) 显然有 (3) 先取定a,使 对于 , 取 ,当 时，有 从而 从而 是连续函数.且一致连续。 性质2 为某随机变量的特征函数，则 性质3 为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2 的特征函数为 性质4 为某随机变量X，Y 的特征函数， 若X，Y 独立，则 则 性质5 为某随机变量X 的特征函数， 存在 引理1 设 则 证明:　根据Dirichlet积分： 定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为 且 为 Ｆ(x)的连续点，则 证明：不妨设 由于 由Fubini定理交换积分次序得到 因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得 由引理1知 有界， 定理2（唯一性定理）分布函数由特征函数唯一确定 证明：应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y 沿F(x)连续点趋于 时，有 而分布函数由其连续点上的值唯一确定，定理2得证。 由唯一性定理可知，特征函数唯一确定分布，因而特征函数也完整地描述了随机变量，特别当p(x)绝对可积时，有以下更强结果。 定理3（Fourier逆变换）若 则相应的分布函数F(x)的导数存在且连续，且有 因此 证明：由逆转公式，如 为F(x)的连续点，则 由于 因此由控制收敛定理知： 四、分布函数的再生性 许多重要的分布函数具有一个有趣的性质——再生 性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个 例子来说明。 所以 证明： 由唯一性定理知 若 且 独立，则 EX5 证明： 所以 且独立，则 EX6 证明： 所以 且独立，则 EX7 五、多元特征函数 若随机向量 的分布函数为 则它的特征函数定义为 通常记 则上式表示为 类似地有下列若干性质 （1） 在