概率论与数理统计第2版 作者 宗序平 主编 概率统计5.2.pptVIP

§5.2 随机变量的收敛性与强大数定律 二、r阶矩收敛 三、概率1收敛 四、强大数定律 * * Def. 1. 随机变量序列 与随机变量X满足 则称随机变量序列 依概率收敛于X，记作 例 1. 设 均为退化分布的随机变量，且 一、概率收敛与分布收敛 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 显然 而 Def. 2. 设随机变量序列 与随机变量X 的分布函数分别为 在F(x) 的连续点x处，有 则称 弱收敛于 记作 也称 以分布收敛于X， 记作 或 定理1. 设{Xn},{Yn}是两个随机变量序列,a, b为两个 常数, ,则 定理2. ;反之未必成立。 证明：设xxx, {X?x}= {X?x, Xn?x}? {X?x, Xnx} {Xn?x} ? {X?x, Xnx} F(x) ? Fn(x) +P{X?x, Xnx}? Fn(x) +P{Xn -X x - x} ? Fn(x) +P{|Xn –X| x - x} {Xn?x}= {Xn?x, X? x}? {Xn?x, X x} {X? x} ? {X x, Xn?x} Fn(x)? F(x)+P{X x, Xn?x}? F(x)+P{X- Xn x -x} ? F(x)+P{|X- Xn | x -x} xxx -1 1 1/2 1/2 X P -1 1 1/2 1/2 Xn P 例 不妨设{Xn}与X均独立，则 (-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1) 1/4 1/4 1/4 1/4 （Xn，X） P Xn-X 0 -2 2 0 不成立. 定理3. P{|Xn-c|??}= P{Xn ? c+ ?}+P{Xn?c - ?} =1-Fn(c+ ?-0)+ Fn(c-?) →1-1+0=0 证明. 由定理2有 反之， 定理4. (连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于 分布函数{F(x)}的充分必要条件为: {Fn(x)}的特征函数列 收敛于F(x)的特征函数 证明：略。 例1（辛钦大数定律） 则 证明： 设Xi的特征函数为?(t),则 的特征函数为 由上述定理有 由定理3 例2 则 证明 P{Xn+Yn? x}= P{Xn+Yn? x,|Yn-c| ??}+ P{Xn+Yn? x, |Yn-c| ?} ? P{Xn? x-c+ ?,|Yn-c| ??}+P{|Yn-c| ?} P{Xn+Yn? x} ? P{Xn? x-c+?}+P{|Yn-c|?} (1) P{Xn+Yn? x}? P{Xn+Yn? x,|Yn-c| ??} P{Xn? x-c-?,|Yn-c| ??} = P{Xn? x-c-?}- P{Xn? x-c-?,|Yn-c| ?} P{Xn+Yn? x}?P{Xn? x-c-?}- P{|Yn-c| ?} (2) 比较（1）（2）得 例3（1） 则 则 证明:作为作业。 （2） 定义3、随机变量序列 的r阶矩存在，即 且 则称 以r阶矩收敛于X，记作 说明（1） r=1,称为平均收敛； （2） r=2,称为均方收敛； 定理5 定理6 反之未必成立。 Def. 3. 设随机变量序列 与随机变量X 则称随机变量序列 依概率1收敛于X，记作 注 概率的上连续性