概率论与数理统计第2版 作者 宗序平 主编 概率统计7.3.pptVIP

7.3 一致最小方差无偏估计（UMVUE） * * 一、概 念 定义：设 为关于? 的UE，对另一个任意的无偏估计 称 为关于? 一致最小方差无偏估计（UMVUE）。 如何求UMVUE？ 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： EX=?，0Var(X)+ 定理1（Rao-Blackwell)设X，Y为两个随机变量， 则 证明： 等号成立的充要条件为： 几乎处处相等。 定理2 为总体的简单随机样本， T为充分统计量, 为未知参数， 为关于? 的UE， 令 则 定理2实际上是定理1的推论。 说明：如果充分统计量存在，则UMVUE是充分统计量的函数； 定理3（UMVUE判别法） 为关于? 的UE， 为总体的简单随机样本， 为UMVUE的充分必要条件是： 对任一满足 的 有 证明： 为关于? 任一的UE，则令 设 为UMVUE。 为UMVUE， 设t为一非随机数，则 二、Cramer-Rao不等式（C-R） 定义(C-R分布簇)设 为总体X的分布密度簇， 满足： (1)参数集 为直线上一开区间;(开集) (2)支撑 与? 无关; (3) 对一切 存在; (4) 积分与微分运算可交换次序,即 (5) 存在;则称 为总体的Fisher信息; 满足上述条件,则称之为C-R分布簇 或正则分布簇. 例1 设总体 求 例2 设总体 求 性质: 为Score函数,则 (1) (2) (3) 称 推论 对数似然函数 (2) (3) (1) 定理4（C-R不等式）设总体分布为C-R分布簇,X1, X2, ?, Xn为一组样本,T=T(X1, X2, ?, Xn)为g(?)的无偏估计, 即 g(?)连续可导, 可在积分号下求导,则 等式成立的充要条件为 证明 * * *