经济应用数学 上 作者 李秋莎 32642-第4章微分中值定理及导数的应用.pptVIP

第4章 微分中值定理 及导数的应用 4.1　微分中值定理 本节先介绍罗尔(Rolle)定理,然后由罗 尔定理推导出另外两个中值定理———拉 格朗日(Lagrange)中值定理、柯西Cauchy) 中值定理。 4.1.1 罗尔定理 由极限的局部保号性可知,在x0 处的单 侧导数 定理1(罗尔定理) 如果函数f(x)满足以 下条件: (1)在闭区间[a,b]上连续。 (2)在开区间(a,b)内可导。 (3)在区间两个端点处的函数值相等,即 f(a)=f(b) 罗尔中值定理的几何意义:对应区间 [a,b]上的光滑连续曲线y =f(x),若两端点的 高度相同,则在曲线y =f(x)上至少存在一点 (ξ,f(ξ)),使得曲线过该点的切线C1 的斜率 为0,即切线平行于x 轴,如图4-1所示,实质上 C1 平行于弦AB。 注 (1)罗尔定理中存在ξ ∈ (a,b),使得 f(ξ)=0,但ξ 具体位置不知。 (2)罗尔定理是充分条件,三个条件中有 一个不满足甚至全部不满足时,结论仍有可 能成立,也有可能不成立。 4.1.2 拉格朗日中值定理 定理2(拉格朗日中值定理) 如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可 导,则至少存在一点ξ ∈ (a,b),使得 分析 如图4-2所示,连续曲线在(a,b)上 每一点都有不垂直于x 轴的切线,则在(a,b) 内至少存在一点处的切线平行于两个端点 的连线。 显然,在定理中若令f(a)=f(b),便可得到 罗尔定理。 另外,将罗尔中值定理对应的图4-1中的 曲线y =f(x)稍作旋转,由C1 与弦AB 的平行 关系不变,便可得到拉格朗日中值定理。 拉格朗日中值定理的其他形式 f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a),ξ ∈ (a,b) 理解为,两端点的函数值之差等于自变 量之差乘上区间内某一点的导数。 由拉格朗日中值定理,还可以得到下面 两个常用的结论。 4.1.3 ※柯西中值定理 定理3(Cauchy中值定理) 如果函数 (x),g(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内 可导,且g(x)≠0,x ∈ (a,b),则至少存在一点 ξ ∈ (a,b),使得 该定理表明,满足定理条件的两函数,两 端的端点函数值之差的比等于它们在某一 点导数的比。 另外,在定理中若令g(x)=x,便可以得到 拉格朗日中值定理。 例5 设0a b,f(x)在[a,b]上连续,在(a,b) 内可导,试证:至少存在一点ξ ∈(a,b),使得 而 由以上两式可得 定理得证。 4.2　洛必达法则 在第2章中我们介绍了 型未 定式,对于这两种形式的未定式,根据具体情 况常用等价无穷小、有理化、同除分母最 高次数等方法求其极限。 本节介绍借助导数求解这两类未定式 的一般方法———洛必达法则。 4.2.1 未定式 定理(洛必达法则) 若在某一变化过程 中有 由例3和例4可知,在x →+ ∞ 的过程中, 对数函数、幂函数、指数函数的相对增长 速度,指数函数最快,其次为幂函数,对数函 数增长最慢。 注 利用洛必达法则求极限时,若求导之 后仍满足定理,则可继续使用法则直至求出 极限或法则失效;在求极限的过程中,可结合 其他求极限的方法以提高计算效率,例如等 价无穷小的替换、分式的化简、重要极限 等可以大大简化计算过程;注意,洛必达法则 是原未定式有极限(或为无穷大)的充分条件 ,若求导之后无极限也不是无穷大,原未定式 仍可能有极限。 4.2.2 其他形式的未定式 1.0·∞ 型未定式 对于0·∞ 型未定式可通过恒等变换化 为 未定式,利用洛必达法则计算。 变换要照顾到求导的方便。 这三种形式的未定式,通常表示幂指数 函数的某种变化过程。 一般做法是,先化为以e为底的复合函 数,然后利用指数函数的连续性转化直接求 指数的极限。 而指数为0·∞ 型未定式,可化为 未定式,利用洛必达法则计算。 4.3　函数的单调性与极值 在第1章中介绍了函数单调性的定义, 并给出了基本初等函数的单调性。 对于一般的初等函数,我们通常借