经济应用数学 上 作者 李秋莎 32642-第5章不定积分.pptVIP

第5章 不定积分 5.1 不定积分的概念与性质 5.1.1 原函数 定义1 如果在区间I 上,函数F(x)的导数 为f(x),即对于任一x ∈I 都有 F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx 则称F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数。 例如,(x2)‘=2x,故x2 是2x 的一个原函数。 进一步由微分学知识可知,对于任一常 数C,都有(x2 +C)‘=2x,故C 取每一个值,x2 +C 都是2x 的一个原函数。 对于一般函数f(x),若F(x)为其在区间I 上的一个原函数,C 是任一常数,则 (F(x)+C)=F(x)=f(x) 即对于任一常数C,F(x)+C 都是f(x)的 原函数。 从而可知,若f(x)有一个原函数的话,那 么它就有无穷多个原函数。 关于原函数我们有两个问题要解决:一 、什么样的函数才能有原函数;二、有原函 数的话,怎样才能找到所有原函数。 对于第一个问题,我们有如下定理。 原函数存在定理 若f(x)在区间I 上连续, 则存在F(x),对于任一x ∈I 都有 F(x)=f(x) 即连续函数必有原函数。 这是原函数存在的一个充分条件,我们 将在下一章给出证明。 对于第二5.2 换元积分法与分部积分法,我们给出以下说明。 (1)上面讨论可知,若F(x)为f(x)的一个 原函数,对于任一常数C,F(x)+C 都是f(x)的 原函数。 (2)G(x)也是f(x)的一个原函数,则必 存在一个常数C0,使得G(x)=F(x)+C0这是 因为(G(x)-F(x))=G(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0 由微分学知识可知,G(x)-F(x)必为某一常 数C0,即G(x)-F(x)= C0 。 由以上两点可知,函数集合{F(x)+C|C ∈R}中的任一函数都是f(x)的原函数;任一 f(x)的原函数G(x)都满足G(x)∈ {F(x)+C|C ∈R},故{F(x)+C|C ∈R}为f(x)的原函数的全体。 也就是说,当C 取遍所有实数时,F(x)+C 就得到了f(x)的全部原函数。 5.1.2 不定积分的概念 基于上一部分对原函数问题的讨论,我 们给出一种求已知函数的原函数问题的运 算———不定积分。 定义2 若F(x)为f(x)的一个原函数,则称 f(x)的所有原函数F(x)+C (C ∈R)为f(x)的不 定积分,记作∫f(x)dx =F(x)+C 其中“∫”为积分符号,x 为积分变量, f(x)为被积函数,f(x)dx 为被积表达式,C 为积 分常数。 由定义可知,求被积函数的不定积分只 须找到它的一个原函数,然后再加上任意常 数C。 5.1.3 不定积分的性质 根据不定积分的定义,我们不难得到不 定积分的以下几条性质。 (1)不定积分与导数和微分互逆性 (2)不定积分的线性性质 由导数的线性性质可得到 5.1.4 基本积分表 根据不定积分和导数的关系,由基本求 导公式可得到常用的基本积分公式。 这些基本积分公式是进行积分计算的 基础,一定要熟练掌握。结合积分的性质,我 们可以进行一些基本的积分计算。 5.2 换元积分法与分部积分法 虽然积分和求导互为逆运算,但积分远 比求导困难得多。 有些初等函数如e-x2 , 等,原 函数必然存在,但由于其原函数不是初等函 数,我们并不能求其积分。 通过上节的学习,我们可以求一些简单 的积分,为了解决复合函数、函数的乘积等 这些复杂一些的积分问题,本节我们将学习 换元积分法和分部积分法。 5.2.1 第一换元积分法 我们先分析如何计算积分∫sin2xdx。 该积分不能直接用积分公式∫sintdt=- cost+C,若想把2x 看成t 的话,被积表达式 中必须有d2x。 由微分的性质可知,d2x=2dx,对原积分 进行恒等变换,则 该方法可推广到一般形如 ∫f(φ(x))φ(x)dx 类型的积分的计算。 定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数,φ(x) 为一可导函数,则 此类换元积分法叫第一换元积分法,也 叫凑微分法,主要应用于被积表达式为复合