经济应用数学 上 作者 李秋莎 32642-第7章多元函数微积分.pptVIP

第7章 多元函数微积分 7.1 多元函数的基本概念 7.1.1 平面点集与n 维空间 1. 平面点集 在平面上引入了一个直角坐标系后,平 面上的点P 与有序二元实数组(x,y)之间就 建立了一一对应关系。 平面上一切点的集合称为二维空间,记 为R2,即 2.n 维空间 7.1.2 多元函数的概念 7.2 二元函数的极限与连续 7.2.1 二元函数的极限 即当沿着不同的直线趋近点(0,0)时,得 到的极限都不同,因此,函数f(x,y)在(0,0)处无 极限。 7.2.2 二元函数的连续性 1. 连续函数的定义 类似于一元函数的连续性,我们可以定 义二元函数及n 元函数的连续性。 与一元函数在一点连续的定义类似,有 下面的等价定义。 2. 连续函数的性质 下面我们介绍几个连续函数的性质,它 们的证明是初等的,我们这里略过它们的证 明,读者可以自己给予证明。 定理1 区域D 上二元连续函数的和、 差、积仍为D 上的二元连续函数;当分母不 为零时,D 上二元连续函数的商函数也是D 上的连续函数;二元连续函数的复合函数为 二元连续函数 定义3 由常数和x,y 的基本初等函数经 过有限次四则运算和有限次复合且能用一 个式子表达的函数称为二元初等函数。 定理2 二元初等函数在它的定义域内 的每一点都连续。 定理3 有界闭区域D 上连续的二元函 数,是D 上的有界函数。 定理4 如果二元函数在有界闭区域D 上连续,则该函数在D 上一定能取到最大值 和最小值。 定理5 在有界闭区域D 上连续的二元 函数必能取得介于最大值和最小值之间的 任何值。 二元函数的极限、连续概念等可以推 广到二元以上的多元函数的情形。 7.3 偏导函数与全微分 7.3.1 偏导数的定义及计算方法 1. 一阶偏导 关于多元函数的混合偏导,我们有如下 性质。 7.3.2 二元函数的全微分 下面给出二元可微函数的一些重要性质。 7.4 二元函数的极值 7.4.1 二元函数的极值及驻点 7.4.2 条件极值及拉格朗日乘数法 求多元函数的极值问题或最大值、最 小值问题时,往往需要对自变量加一些约束 条件,这类带有约束条件的极值问题,称为条 件极值。 例如,求表面积为a2 的长方体的最大体 积问题。 求解这类问题,通常有两种方法:一种方 法是通过条件,消掉一些自变量,从而化为非 条件极值的情况,比如上例,高可以写成长与 宽的函数,另一种方法是拉格朗日乘数法。 这种方法可以推广到自变量多于两个, 而条件多于一个的情形。 至于如何确定所求的点是否为极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质 来判定。 根据问题性质可知,这种最大周长的直角 三角形一定存在,所以斜边长为l 的一切直角 三角形中,周长最大的是等腰直角三角形。 7.5 二重积分 7.5.1 二重积分的概念与性质 1. 二重积分的概念 定理(二重积分的存在性) 当f(x,y)在闭区 域D 上连续时,积分和的极限是存在的,也就 是说函数f(x,y)在D 上的二重积分必定存在。 我们总假定函数f(x,y)在闭区域D 上连续, 所以f(x,y)在D 上的二重积分都是存在的。 由于初等函数在定义域上是连续的,故初 等函数在闭区域上都是可积的。 2. 二重积分的性质 类似于一元函数的积分,二重积分有如 下性质。 设D 是xOy 平面上的有界闭区域,σ 为 D 的面积。 性质1 常数因子可以提到积分号外面,即 性质2 函数和或差的积分等于各函数 积分的和或差,即 性质3 如果积分区域D 分割成D1 与D2 两部分,则有 7.5.2 二重积分的计算方法 1. 利用直角坐标计算二重积分 我们首先介绍平面区域的两种基本类型。 显然,这种做法比用方法一麻烦。 以上两例说明,在二重积分的计算中,积 分次序的选取是十分重要的,选取时应兼顾 以下两个方面。 (1)使每一次积分都能容易计算。 (2)使积分区域尽量不分块或少分块。 2. 利用极坐标计算二重积分