经济应用数学 上 作者 李秋莎 32642-第1章函数.pptVIP

第1章 函 数 1.1　函数的概念与性态 1.1.1 数集、区间和邻域 本书中的常用数集及其符号如下: ? 实数集:R={全体实数}。 ? 整数集:Z={0,±1,±2,…,±n,…}。 ? 自然数集:N={0,1,2,…,n,…}。 ? 有理数集: 我们约定,在表示集合的字母上加上标 “+”表示在该集合中取正数,加上标“-” 表示在该集合中取负数。 例如,R+={全体正实数};Z-={-1,-,…,- n,…},即全体负整数。 区间是我们表示实数集合的一种常用 形式,区间根据长度可以分为两大类:有限 区间和无限区间(无穷区间)。 设a,b 为两个实数,且a b 。 我们定义区间如下: ? (a,b)={x|a x b}为开区间,如图1- 1(a)所示。 ? [a,b]={x|a ≤x ≤b}为闭区间,如图 1-1(b)所示。 类似地,定义半开半闭区间 (a,b]={x|a x ≤b}和[a,b)={x|a ≤x b} 称a,b 为区间的端点,b-a 为区间的长度。 由此可知,以上区间的长度都为有限数, 称它们为有限区间。 我们还定义了无穷区间 如图1-2所示。 邻域是研究函数在局部性态的重要工 具,下面给出它的定义。 定义1 设a 与δ 是两个实数,且δ 0, 我们称开区间(a-δ,a+δ)为点a 的δ 邻域, 记作 U(a,δ)=(a -δ,a +δ)={x|a -δ x a +δ}={x| x -a δ} 即到点a 的距离小于δ 的点的集合, 简称点a 的邻域。 其中a 为该邻域的中心,δ 为该邻域 的半径,如图1-3所示。 在U(a,δ)中去掉中心点a,得到集合 U(a,δ)=(a -δ,a)∪ (a,a +δ)={x|0 x -a δ} 称为点a 的去心邻域。 1.1.2 函数的概念 定义2 设非空数集D ?R,f 是一个由D 到R的对应法则。 若对于任一x ∈D ,在f的作用下都有 唯一一个确定实数y 与之相对应,则称f 为 D 上的一个函数,称y 为f 在点x处的函数 值,记作y =f(x)。 函数f 可表示为 f∶D → R ?x ∈D →y ∈ R 简单地表示为y =f(x),x ∈D 。 其中x 称为自变量,y 称为因变量。 D 称为函数f 的定义域,记为Df 。 称所有函数值的全体Rf ={y|y =f(x),x ∈D }为函数f 的值域。 决定函数的两要素是函数的定义域和 对应法则,因此,两个函数有在定义域和对 应法则都相同时,才以为是相同的。 如不考虑实际意义,没有特别声明的话, 我们认定使得函数表达式有意义的实数的 全体为函数的定义域,也称为自然定义域。 在计算函数定义域时,应注意:定义域写 成集合的形式;分式中分母不为零;偶次根式 中被开方数非负;对数中的真数必大于零;反 正弦和反余弦作用的变量绝对值小于等于1。 对于复合函数和分段函数的定义域我 们后边给出说明。 例1 求下列函数的定义域。 解(1)由分母不为零且被开方数非负可 知,自变量x 应满足 x2 -x -20 解得x 2或x -1,故原函数的定义域为 :(- ∞,-1)∪ (2,+ ∞)。 (2)该函数的定义域应为满足不等式组 的x 全体,解不等式组得0≤x ≤2,故原函数 的定义域为:[0,2]。 对于函数y =f(x)的对应法则f 我们要有 深刻的理解,它描述被作用变量与相应函数 值之间的对应关系。 通俗地讲就是f(·)为f 作用在·上所产生 的结果。 了解这一点对于我们理解复合函数有 很大的帮助。 1.1.3 函数的图像 对于函数y=f(x)(x ∈D ),任一x ∈D 都 有唯一y=f(x)与之相对应,从而可产生有序 数组(x,y)对应于平面内的一点P(x,y),称点 集{(x,y)|y=f(x),x ∈D }形成的轨迹为函数y =f(x)(x ∈D )的图像,如图1-4所示。 类似于例3和例4,若函数在不同的定义 区间上有不同的解析式,则称该函数为分段 函数。 1.1.4 反函数 定义3 设y=f(x)在区间I 上有定义,对应 的函数值集合为W ={y|y=f(x),x ∈I},如果对 于每个y