1112高等数学B(二)试题答案 济南大学.ppt

* 济南大学1112高等数学B(二)参考解答 一、填空题（每小题2分，共10分） 解: 1.　 2.　设函数 在 处取得极值，试求常数a=______. 分析 这是二元函数求极值的反问题， 即已知 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件 和充分条件即可求解本题． 解： 因为 可微, 故 必为驻点， 则有 因此有 ，即 ． 补充.　设函数 在 处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型． 在点 为极小值. 求二阶偏导数 解： 处 3. 已知级数 解: 则 的部分和 4. 交换积分次序为 二次积分_____________. 解. 积分域如图. 表示为Y形区域 将 原式 5. 若 为同向的单位向量，则它们的数量积 解. 的夹角为0, 与 则 平面（ ）. 二．选择题(每小题2分,共10分) 分析. 设平面方程为 1.　 且.　 (A) 平行于x轴. (B) 平行于y轴. (C) 经过y轴. (D) 垂直于y轴 特殊情形 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xOy 面 的平面; 平行于 yOz 面 的平面； 平行于 zOx 面 的平面. 2. 设D为 则 原式 解： 被积函数 由二重积分的几何意义得 表示上半球面， 3. 的全微分 ( ) (A) 均存在. (B) 连续. (C) 的全部一阶偏导数均连续 . 在点P处函数 存在的充分条件是 (D) 连续且 均存在. 全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 当函数可微时 : 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 偏导数存在 函数可微 偏导数连续 小结 极限，连续，可导，可微的关系图 极限存在 连续 可微分 偏导数存在 偏导数连续 4. 分析: 两平面: 关系是 ( ). 所以两平面不垂直. 又两平面的法向量对应的坐标不成比例， 所以两平面不平行. 的位置 分析: 5. 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ; 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 求 方法一： 隐函数求导公式 令 1. 设 是由方程 三、计算题（每小题8分，共40分） 确定的隐函数, 方法二： 将z看作x,y的二元函数，方程两边对x求导 1. 设 是由方程 确定的隐函数, 求 方程两边对x求导 方法三： 将方程两边求全微分，得 解出dz，得 所以 2. 计算 其中D 是直线 y＝x, y＝5x, 及 x＝1 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 太难算了 3. 解: 其中D为圆 在极坐标系下 原式 所围在第一象限中的区域 * * * * *