高考数学 数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习二 理.docVIP

数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲 题一：已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记an＝log2f (n)(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________． 题二：已知函数f (x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f ()，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn 对一切n∈N*成立，求最小的正整数m. 题三：已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝；当an为奇数时，an＋1＝； (1)若a1为偶数，且a1，a2，a3成等差数列，求a1的值； (2)设a1＝2m＋3(m3且m∈N)，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn≤ 2m＋1＋3； (3)若an为正整数，求证：当n1＋log2a1(n∈N)时，都有an＝0. 题四：定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”． （1）设，（），，判断数列、是否为“摆动数列”，并说明理由； （2）已知“摆动数列”满足，，求常数的值； （3）设，且数列的前项和为，求证：数列是“摆动数列”，并求出常数的取值范围. 数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲 课后练习 题一：－3 详解：将A、B两点坐标代入f (x)得 解得 ∴f (x)＝·2x.∴f (n)＝·2n＝2n－3. ∴an＝log2f(n)＝n－3. 令an≤0，即n－3≤0，∴n≤3. ∴数列3项小于或等于零，故S3或S2最小． S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.题二：（1）an＝n＋;(2) m最小＝2013. 详解：(1)∵an＋1＝f()＝＝an＋， ∴{an}是以为公差，首项a1＝1的等差数列， ∴an＝n＋. (2)当n≥2时， bn＝＝ ＝(－)， 当n＝1时，上式同样成立． ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－)， ∵Sn，即(1－)对一切n∈N*成立， 又(1－)随n递增，且(1－)， ∴≤，∴m≥2013，∴m最小＝2013. 题三：（1）2或0；（2）省略；（3）省略 详解：(1)设a1＝2k，则a2＝k， 由条件知2k＋a3＝2k，∴a3＝0. 分两种情况讨论： 若k是奇数，则a3＝＝＝0，∴k＝1，a1＝2，a2＝1，a3＝0， 若k是偶数，则a3＝＝＝0，∴k＝0，a1＝0，a2＝0，a3＝0， ∴a1的值为2或0. (2)当m3时，a1＝2m＋3，a2＝2m－1＋1，a3＝2m－2，a4＝2m－3，a5＝2m－4，…，am＝2，am＋1＝1，am＋2＝…＝an＝0， ∴Sn≤Sm＋1＝1＋2＋…＋2m＋4＝2m＋1＋3. (3)∵n1＋log2a1，∴n－1log2a1，∴2n－1a1， 由定义可知：an＋1＝， ∴an＋1≤ ，∴≤ . ∴an＝··…··a1≤ a1， ∴an·2n－1＝1， ∵an∈N，∴an＝0， 综上可知：当n1＋log2a1(n∈N)时，都有an＝0.题四：（1）不是“摆动数列”； 是“摆动数列”.（2）；（3） 详解：（1）假设数列是“摆动数列”， 即存在常数，总有对任意成立， 不妨取时则，取时则，显然常数不存在， 所以数列不是“摆动数列”；由，于是对任意成立，其中.所以数列是“摆动数列”. （2）由数列为“摆动数列”， ， 即存在常数，使对任意正整数，总有成立； 即有成立.则， 所以. 同理. 所以，解得即. 同理，解得即. 综上. （3）证明：由， 显然存在，使对任意正整数，总有成立， 所以数列是“摆动数列”； 当为奇数时递减，所以，只要即可 当为偶数时递增，，只要即可 综上，的取值范围是. - 4 -