高考数学 数学思想方法篇 专题3 关于分类讨论的再研究.docVIP

【考前三个月】（江苏专用）2015高考数学 数学思想方法篇 专题3 关于分类讨论的再研究 [方法精要]　在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况；解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置． 1．中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角． (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等． (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等． 2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”． 3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论． 题型一　分类讨论在概念、计算中的应用 例1　设集合A＝{xR|x2＋4x＝0}，B＝{xR|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，aR}，若BA，求实数a的值． 破题切入点　BA可分B＝，B(A，B＝A三种情况，所以此题需分类并结合一元二次方程根的情况加以研究． 解　A＝{0，－4}，BA，于是可分为以下几种情况． (1)当A＝B时，B＝{0，－4}， 由根与系数的关系，得解得a＝1. (2)当B(A时，又可分为两种情况． 当B≠时，即B＝{0}或B＝{－4}， 当x＝0时，有a＝±1； 当x＝－4时，有a＝7或a＝1. 又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件； 当B＝时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0， 解得a－1. 综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1. 题型二　分类讨论在含参函数中的应用 例2　已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x[0,1]上有最大值2，求a的值． 破题切入点　本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a的值． 解　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a ＝－(x－a)2＋a2－a＋1， 对称轴方程为x＝a. (1)当a0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， 1－a＝2，a＝－1. (2)当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1， a2－a＋1＝2，a2－a－1＝0， a＝(舍)． (3)当a1时，f(x)max＝f(1)＝a，a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2. 题型三　分类讨论在图象中的应用 例3　设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2，求的值． 破题切入点　直角三角形关键是确定直角顶点，由PF1PF2知，需分PF2F1和F1PF2分别为直角两种情况即可． 解　若PF2F1＝90°， 则PF＝PF＋F1F， 又PF1＋PF2＝6，F1F2＝2， 解得PF1＝，PF2＝，＝. 若F1PF2＝90°， 则F1F＝PF＋PF， PF＋(6－PF1)2＝20， 又PF1PF2，PF1＝4，PF2＝2， ＝2.综上知，＝或2. 题型四　分类讨论在数列求和中的应用 例4　已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，nN*)，求数列{bn}的前