高考数学复习点拨 用空间向量解决立体几何的空间角问题.docVIP

用空间向量解决立体几何的空间角问题 一、异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为分别是的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是，则有． 已知正方形和矩形所在平面互相垂直，．试在线段 上确定一点，使得与所成的角是． 解：如图1，建立空间直角坐标系，则． 设，得． 又和所成的角是， ． 解得或（舍去），即点是的中点． 评议：采用传统的平移法求异面直线所成角的大小，免不了要作辅助线和几何推理．这里运用向量法，没有了这些手续，显得便当快捷． 二、直线和平面所成的角 如图2，点在平面外，为内一点，斜线和平面所成的角为，为的一个法向量，注意到斜线和平面所太角的范围是，则有，结合向量的夹角公式便可求． 例2　在正三棱柱中，已知在棱上， 且，若与平面所成的角为，则（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：取中点，连结，则，如图3，建立空间直角坐标系，则，则． 平面平面，， 平面． 为平面的一个法向量． ． ，选（Ｄ）． 评议：利用向量法求空间角，其操作只须按步骤进行，数值计算十分简单，对空间想象力和几何的逻辑推理能力要求不高，显得简洁明了． 三、二面角 如图4，分别在二面角的两个面内且垂直于棱，分别是的一个法向量，则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小： （1）等于二面角的平面角； （2）与二面角的平面角相等或互补． 例3　如图5，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点，求二面角的大小． 解：取中点，连结． ， ，且． 又平面平面， 平面，． 如图5所示，建立空间直角坐标系． 则，，，设为平面的一个法向量，则 取，则． 则． 又为平面的一个法向量， ． 二面角的大小为． 评议：利用向量法求空间角的大小，经常用到平面的法向量．求法向量的方法主要有两种：1、求平面的垂线的方向向量； 2、利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求． 1 用心 爱心 专心