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高考数学复习点拨 用空间向量解决立体几何的几大问题
用空间向量解决立体几何的平行问题
一、线线平行问题
已知直线平面，直线平面，为垂足．求证：．
证明：以点为原点，以射线为非负轴，如图1，建立空间直角坐标系，为沿轴的单位向量，且设．
，，，，
．
，．，即．
点评：由向量的共线的充要条件知，只要证明即可．
二、线面平行问题
例2 已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面．
证法1：建立如图2的空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，
则．
设平面的法向量为，
则．
由，，得
取得，得．
由，
得，即平面．
证法2：如图3，记，
则．
，共面．
又平面，平面．
点评：用向量证明线面平行问题通常有两种方法：①向量与两个不共线的向量共面的充要条件是存在惟一的有序实数对，使．利用共面向量定理可证明线面平行问题，如证法2．②设为平面的法向量，要证明，只需证明，如证法1．
三、面面平行问题
例3 已知正方体的棱长为1，分别为的中点，求证：平面平面．
证明：建立如图4所示的空间直角坐标系，
则．
得．
设为平面的法向量，设为平面的法向量．
空间计算：．
由，得平面平面．
点评：设分别为平面的法向量，要证，只需证明：存在一个非零常数，满足，则．其实本题也可转化为线线平行，则面面平行．即用向量先证明，，则有线面平行，从而平面平面．
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