高中数学全程复习方略2.3.2.2 抛物线方程及性质的应用(共58张PPT).pptVIP

【典例训练】 1.已知抛物线y2=2x，点(5,0)恰是直线被抛物线所截得的弦的中点，则直线方程是_______. 2.抛物线y2=-8x中，以(-1,1)为中点的弦的直线方程是______. 【解析】1.由于(5,0)恰在抛物线对称轴上，能符合题意的直线与对称轴垂直，故直线方程是x=5. 答案:x=5 2.方法一：设弦的两个端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有 两式相减得(y1+y2)（y1-y2）=-8(x1-x2)， 则直线的斜率 由于(-1,1)为中点， 1即y1+y2=2, 所以直线斜率为-4且过点 (-1,1)，则直线方程是y-1=-4(x+1)，整理得直线方程4x+y+ 3=0. 方法二：设抛物线y2=-8x关于点(-1,1)对称的抛物线上的任意点为(x,y)，则点(x,y) 关于点(-1，1)的对称点（-2-x,2-y）必在抛物线y2=-8x上，所以有(2-y)2=-8(-2-x) 两式相减得 4-4y=16x+16即4x+y+3=0为所求直线的方程. 答案:4x+y+3=0 【想一想】解答题2的关键点是什么？ 提示：解答题2的关键是设出坐标联立方程组求解或抓住抛物线的对称性求解. 【变式训练】已知抛物线y2=6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰 在P点被平分,求这条弦所在直线方程. 【解析】方法一:设弦的两个端点为P1(x1,y1)，P2（x2,y2）， 所求直线方程为y-1=k(x-4), ∵P1，P2在抛物线上, 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2)① 将y1+y2=2代入①得 ∴直线方程为3x-y-11=0. 方法二:设所求方程为y-1=k(x-4), 由 得ky2-6y-24k+6=0. 设两端点P1，P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)，则 ∵P1P2的中点为(4,1), 经验证k=3满足Δ＞0. 故所求直线方程为3x-y-11=0. 直线到抛物线最近距离问题 【技法点拨】 解决直线到抛物线最近距离的方法 (1)利用两点间的距离公式和二次函数知识求解； (2)利用点到直线距离公式，结合二次函数求最值的方法； (3)利用判别式先求出切点，再用点到直线的距离求解. 【典例训练】 1.已知点A(3,2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上， 使|PA|+|PF|取得最小值，则最小值为( ) (A) (B)2 (C) (D) 2.求抛物线y=x2上的点与直线l:x-y-2=0的最短距离. 【解析】1.选D.设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定 义可知|PF|=|PD|, ∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小值.当 D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小，为 故选D. 2.方法一：设抛物线上一点P(x0,y0)到直线l:x-y-2=0的距离为 d， 则 方法二：设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x-y+b= 0，代入抛物线方程消去y得:x2-x-b=0. ∵Δ=1+4b=0,∴ ∴切线方程为 ∴抛物线上的点到l的最短距离 【规范解答】直线与抛物线的综合应用 【典例】(12分)（2011·江西高考）已知过抛物线y2=2px(p＞ 0)的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A(x1，y1),B(x2, y2)（x1＜x2）两点，且|AB|=9． （1）求该抛物线的方程； （2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 求λ 的值． 【解题指导】 【规范解答】（1）直线AB的方程是 与y2=2px联 立,从而有4x2-5px+p2=0, 所以： ………………………………………2分 由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，所以p=4,…………4分 所以抛物线方程为y2=8x.…………………………………6分 （2）由p=4，4x2-5px+p2=0化简得x2-5x+4=0, 从而 ……………………8分 从而 设 又因为 解得 λ=0或λ=2.…………………………………………………10分 综上：λ=0或λ=2③.……………