高中数学全程复习方略3.3.3 函数的最大(小)值与导数(共66张PPT).pptVIP

4.已知函数f(x)＝x3－ ax2＋b(a，b为实数，且a1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则f(x)的解析式为 _______. 【解析】f′(x)＝3x2－3ax， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a， ∵a1， ∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数. ∴f(0)＝b＝1， ∵f(－1)＝－ a，f(1)＝2－ a， ∴f(－1)f(1)， ∴f(－1)＝－ a＝－2，a＝ . ∴f(x)＝x3－2x2＋1. 答案：f(x)＝x3－2x2＋1 5. 求函数y=x3+3x2-2，x∈［-2,3］的值域. 【解析】令y′=3x2+6x=0得x=0或x=-2, x=0时y=-2；x=-2时y=2；x=3时y=52, ∴函数的值域为［-2,52］. (2)当a＜0时， 则当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： ∴当x=0时，f(x)取极小值,即最小值为-29， ∴b=-29. 又f(2)=8a-24a-29=-16a-29， f(-1)=-7a-29＜f(2)， x (-1,0) 0 (0,2) f′(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ ∴当x=2时，f(x)取最大值,为-16a-29=3， ∴a=-2. ∴a=-2,b=-29. 综上所述，a=2,b=3或a=-2,b=-29. 与最值有关的恒成立问题 【技法点拨】 不等式恒成立问题常用的解题方法 分离参数 求最值 结论 分离参数，转化为f(x)≥a恒成立，即f(x)min≥a；或f(x)≤a恒成立，即f(x)max≤a 求f(x)min或f(x)max 写出参数的取值范围 【典例训练】 1.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1］都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为_________. 2.已知f(x)=x3- x2-2x+5，当x∈［-1,2］时，f(x)＜a恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】1.∵x∈(0,1］，f(x)≥0可化为a≥ 设g(x)= ,则g′(x)= 令g′(x)=0，得x= . 当0＜x＜ 时,g′(x)＞0; 当 ＜x≤1时,g′(x)＜0. ∴g(x)在(0,1］上有极大值g( )=4，它也是最大值, ∴a≥4. 答案：［4,+∞) 2.∵f(x)=x3- x2-2x+5， ∴f′(x)=3x2-x-2. 令f′(x)=0，即3x2-x-2=0， ∴x=1或x=- . 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x (-1,- ) - (- ,1) 1 (1,2) f′(x) f(x)  + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ ∴当x=- 时，f(x)取得极大值f(- )= 当x=1时，f(x)取得极小值f(1)= 又f(-1)= f(2)=7， ∴f(x)在x∈［-1,2］上的最大值为f(2)=7. ∴要使f(x)＜a恒成立，需f(x)max＜a，即a＞7. ∴所求实数a的取值范围是(7,+∞). 【互动探究】题2中，把“f(x)＜a”改为“f(x)≥a”,求实数a的取值范围. 【解题指南】解答本题可利用导数求出函数f(x)的最小值，进而可得a的取值范围. 【解析】由本题2解析可知 f(2)=7, ∴f(x)在x∈［-1,2］上的最小值为f(1)= ， ∴要使f(x)≥a恒成立，需f(x)min≥a，即a≤ ， ∴所求实数a的取值范围是(-∞, ］. 【想一想】解答题1的体会及解答题2的注意点. 提示：(1)当函数在闭区间上只有一个极值时，该极值必为最值. (2)在确定a的取值范围时，要注意等号能否取到. 【变式训练】已知函数f(x)=x3+ x2-6x+c在x∈［-3,2］时， 都有f(x)＞ 恒成立，求c的范围. 【解析】∵f′(x)=3x2+3x-6=3(x+2)(x-1). 令f′(x)=0，即3(x+2)(x-1)=0， 解得x=-2或x=1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x (-3,-2) -2 (-2,1) 1 (1,2) f′(x) f(x) + + ↗ ↗ 0 c+10 ↘ - 0 ∵x=-2时，f(x)取得极大值为f(-2)=c+10， x=1时，f(x)取得极小值为f(1)=c- ， 又f(-3)=c+ ，f(2)=c+2. ∴f(x)在x∈［-3,2］上的最小值为f(1)=c- . ∴c- ＞ , 解得 ＜c＜0或c＞ 利用函数的最值证明不