高中数学全程复习方略3.2.2 导数的运算法则(共55张PPT).pptVIP

求切线方程 【技法点拨】 求曲线y=f(x)的切线方程的技巧 利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点处的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 【典例训练】 1.曲线y=2x-x3过点（1，1）处的切线方程为__________． 2.已知函数f(x)= x3－2ax2+3x(x∈R).若a=1，点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程. 【解析】1.设切点为(x0,y0)， ∵y′=2－3x2,∴k=y′|x=x0=2－3x02， ∴切线方程为y－(2x0－x03)=(2－3x02)(x－x0)， 由切线过点(1,1)， 得1－(2x0－x03)=(2－3x02)(1－x0). 即(x0－1)2(2x0+1)=0. ∴x0=1或x0=－ . ∴切线方程为x+y－2=0或5x－4y－1=0. 答案：x+y－2=0或5x－4y－1=0 2.设切线的斜率为k，则 k=f′(x)=2x2－4x+3=2(x－1)2+1， ∴当x=1时，k取最小值为1. 又f(1)= ，∴P(1, ). ∴所求切线的方程为：y－ =x－1即3x－3y+2=0. 【想一想】 解答本题1、2的关键点是什么？ 提示：(1)解答本题1时应紧扣求“在”曲线上某点处的切线还是“过”曲线上某点的切线这一关键点进行求解. (2)解答本题2时注意到以点P为切点的切线斜率是点P的横坐标的函数，问题进而转化到我们熟悉的二次函数的最值上来解决. 导数运算法则的综合应用 【技法点拨】 导数运算法则的综合应用的拓展 利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识点，结合二次函数或基本不等式进行解决. 【典例训练】 1.点P在曲线y=x3－x+2上运动，设动点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是_____________. 2.已知函数f(x)=lnx,函数g(x)= +af′(x). 若a0,函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值. 【解析】1.∵y′=3x2－1≥－1，∴tanα≥－1. 又直线倾斜角的取值范围为［0,π)，画出正切函数在此范围 上的图象即可得α的取值范围是［0, ）∪［ ,π）. 答案：［0, ）∪［ ,π） 2.∵f(x)=lnx,∴f′(x)= ， ∴当x0时,g(x)=x+ , ∴当a0,x0时,g(x)≥2 ， 当且仅当x= 时取等号. ∴函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2 , ∴依题意得2 =2,∴a=1. 【规范解答】两曲线在公共点处的公共切线 【典例】(12分)已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax, g(x)=3a2lnx+b，其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同. （1）若a=1，求b的值； （2）试写出b关于a的函数关系式. 【解题指导】 【规范解答】（1）∵y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同， 且f′(x)=x+2,g′(x)= ①,………………………………2分 由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②, ∴ …………………………………4分 由x0+2= 得，x0=1，或x0=－3（舍去）③， 即有b= . …………………………………………………6分 （2）∵y=f（x），y=g（x）（x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同. 且f′(x)=x+2a,g′(x)= ①，……………………………8分 ∴由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②， 即 ………………………………10分 解得x0=a或x0=-3a（舍去）③， ∴b= a2-3a2lna（a0）. …………………………………12分 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程） 失 分 警 示 ① 在解答过程中，如果漏掉①处即未对两个函数求导，而直接出现②处则对于本题虽然结果正确，但解析不完整，实际考试中，最多给6分，是考试中常出现的失分点. ② 在解答过程中,若虽①正确，但不能根据已知条件挖掘出隐含条件进而得到②式，则此种情况在实际考试中最多给4分. 失 分 警 示 ③ 在解答过程中,若正确解出x0，但没有验证增