高中数学复习笔记小结.docVIP

高中数学复习笔记 一、?函数图象 1、对称： y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称，例如： 与?（?）关于y轴对称 y=f（x）与y=?—f（x）关于x轴对称，例如： 与?关于x轴对称 y=f（x）与y=?—f（-x）关于原点对称，例如： 与?关于原点对称 y=f（x）与y=f?（x）关于y=x对称，例如： y=10?与y=lgx关于y=x对称 y=f（x）与y=?—f?（—x）关于y=?—x对称，如：y=10?与y=—lg（—x）关于y=?—x对称 注：偶函数的图象本身就会关于y轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如： 图象本身就会关于y轴对称，?的图象本身就会关于原点对称。 y=f（x）与y=f（a—x）关于x=?对称（?） 注：求y=f（x）关于直线?x?y?c=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由x?y+c=0解出x、y再代入y=f（x）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=0 2、平移： y=f（x）?y= f（?x+?）先向左（?0）或向右（?0）平移|?|个单位，再保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的?倍（若y= f（?x+?）y=f（x）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的?倍，再将整个图象向右（?0）或向左（?0）平移|?|个单位，即与原先顺序相反） y=f（x）?y= f?先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的|?|倍，然后再将整个图象向左（?0）或向右（?0）平移|?|个单位，（反之亦然）。 3、必须掌握的几种常见函数的图象 1、?二次函数y=a?+bx+c（a?）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值） 2、?指数函数?（?）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系） 3、?幂函数?（?）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a的关系） 4、?对数函数y=log?x（?）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系） 5、?y=?（a为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间） 6、?三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间） 注：三角中的几个恒等关系 sin?x+ cos?x=1?1+tan?x=sec?x?1+cot?x=csc?x?tanx?=1 利用函数图象解题典例 已知?分别是方程x +10?=3及x+lgx=3的根，求： 分析：x +10?=3可化为10?=3—x，x+lgx=3可化为lgx=3—x，故此可认为是曲线 y=10?、y= lgx与直线y=3—x的两个交点，而此两个交点关于y=x对称，故问题迎刃而解。 答案：3 4、函数中的最值问题： 1、?二次函数最值问题 结合对称轴及定义域进行讨论。 典例：设a∈R，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R，求f（x）的最小值． 考查函数最值的求法及分类讨论思想． 【解】（1）当x≥a时，f（x）=x2+x－a+1=（x+?）2－a+ 若a≤－?时，则f（x）在［a，+∞］上最小值为f（－?）=?－a 若a－?时，则f（x）在［a，+∞）上单调递增 fmin=f（a）=a2+1 （2）当x≤a时，f（x）=x2－x+a+1=（x－?）2+a+ 若a≤?时，则f（x）在（－∞，?单调递减，fmin=f（a）=a2+1 当a?时，则f（x）在（－∞，?上最小值为f（?）=?+a 综上所述，当a≤－?时，f（x）的最小值为?－a 当－?≤a≤?时，f（x）的最小值为a2+1 当a?时，f（x）的最小值为?+a 典例：已知x、y为正数，且x?=1，求x?的最大值 分析：x?=?=?（即设法构造定值x?=1）=?=?故最大值为 注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos?，?=sin?求解，（解略） 3、?通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。 4、?利用函数的单调性 典例：求t?的最小值（分析：利用函数y=?在（1，+?）的单调性求解，解略） 5、?三角换元法（略） 6、?数形结合 例：已知x、y满足x?，求?的最值 5、抽象函数的周期问题 已知函数y=f（x）满足f（x+1）=?—f（x），求证：f（x）为周期函数 证明：由已知得f（x）=?—f（x?—1），所以f（x+1）=?—f（x）=— （—f（x?—1）） = f（x?—1）即f（t）=f（t?—2），所以该函数是以2为最小正周期的函数。 解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解 二、圆锥曲线 1、?离心率 圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0e1）、抛物线（离心率e=1）、双曲线（离心率e1）。 2、?焦半径 椭圆：PF?