可分离变量的微分方程与齐次方程.doc

可分离变量的微分方程与齐次方程 　 ?? 下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。?? 并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。可分离变量的微分方程?? 这种方程的形式为：?? 我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后，得，右端是什么也求不出的，所以求不出y来。?? 其正确解法为：设y=y(x)为所求的解，于是当y=y(x)时，有?????????? ，即?? 这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。?? 例题：求方程的通解。?? 解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得?????????? ???????? 两端分别积分，得?????????? ???????? 令，得?????????? ?? 这就是该方程的通解。齐次微分方程?? 这种微分方程的形式为：?? 它也不能由两端积分求解。其求解步骤为：?? 令，则，y的微分方程就化成了u的微分方程 ??????? ?? 即：?? 这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。?? 例题：求方程的特解。?? 解答：这是一个齐次方程。令y=ux代入，得??????????? ???????? 分离变量后，得??????????? ???????? 两端分别积分，得??????????? ??? 或?? 其中???????? 代回u=y/x，得原方程的通解为???????? 将初始条件y(0)=1代入，得 C=1.???????? 所以满足初始条件的特解为????????????