局部(Hp,r,α)-预不变凸函数与其性质.pdfVIP

维普资讯 第32卷第 1期 江西师范大学学报 (自然科学版) v01．32No．1 2008年 2月 JOURNALOFJIANGXINORMALUNIVERSrIY(NATURALSCIENCE) Eeb．2008 文章编号：1000．5862(2008)01—0036—03 局部 ( ，r，)一预不变 凸函数及其性质 刘晓玲 ， 龚海林2， 袁德辉 (1．韩山师范学院数学与信息技术学院，广东潮州 521041；2．江西师范大学 数学信息科学学院，江西 南昌 330022) 摘要：该文引进一类覆盖范围更为广泛的广义凸性概念(局部 不变凸集，局部( ，r，)．不变凸函 数，局部( ，r，)一拟凸)，并讨论了这些凸性之间的相互关系． 关键词：局部 一不变凸集；局部( ，r，)一不变凸函数；右上 阶．(p，r)微分 中图分类号：o224 文献标识码：A 1 符号和基本概念 函数凸性在数学规划的许多方面都扮演很重要的角色…1，因此凸性概念的推广是一个很重要的研究方 向[]．受文献[6．7]的启发，本文提出一类覆盖范围更加广泛的广义凸性． 设 R 是n维欧氏空间，R：= { ∈R I ≥ot，R = { ∈R I ot．下面利用加权 r一平均值给出 一 些有关广义凸性的概念 ． 定义 1 设 a1，a20， ∈(0，1)，r为任意给定的实数，定义加权 r一平均值为Mr(a1，a2；)为 Mr(口。，口：；：{三。：一~,)ar2)lr／,r，吕 定义2 对给定的正实数P，称集合ScR是 ．不变凸集，是指对任给点对(，“)∈S×S，存在极大 正数 口(，“)≤1及向量函数 ：S×S×[0，1]一 R ，使得 (，“；0)=e“， (，“；)∈R：，In( (，“；))∈S，V0 a(，“)， (1) 并且 (，“；)在开区间(0，。(，“))上连续．其 中式 (1)中的对数和指数是对各个分量而言的． 注 1 显然，若对任意 ，“∈S， (，“；)= (e7 ， ，e“；)且 口(，“)=1，则局部 一不变凸 集是P一不变凸的，但是局部 一不变凸不一定总是P一不变凸．如P=0，定义 ScR2如下 S= {= (1，X2)I2=Xlsin(1／x1)，0 1≤1}U {(0，0)}， U ’X 1 1A 1’ , ~ 并令月c，；：{。，e，2sin。i(12。／))。T,T 其中 ：c。，：， ：c。，“：． 。 ， ∈ ， 则容易验证S是局部 一不变凸集．但对任意给定的 ，“∈S，若 (，“)≠0，则ln(Mp(e J+“，e“；))∈S，即 (1／p)ln(e ’““+(1一 e “∈S(P≠0)或 “+ (，“)∈S(P=0)， 这是不可能的，因为这两个函数中的任何一个所对应曲线都不可能与S在R2所对应曲线的任何不是单点的 部分重合．从而S不可能是P一不变凸集． 定义3 设 ∈R ，，“∈R ，：R ×R 一 R ，P为任意给定的实数，则关于 和 (，“)的P一内积 ((，叩(，“)))定义为 卜{ 一D 其中1：(1，…，1)T∈R“，ePr／’ ：(ePr~／’，…，e ’)T． 定义4 设 a，b，r为3个给定的实数，a和b对于r的广义差( ，(a，b))定义为 收稿 日期：2007．09．24 基金项 目：广东省教育厅 自然科学基金(04J12)和韩山师范学院青年基金 (413