第三节 Taylor公式.doc

第三节　Taylor公式 一、一元函数的Taylor公式 先考虑一元函数的Taylor公式。前面我们给出了 ． 用微分在相差的高阶无穷小的情况下来近似地代替函数增量，这一种近似方法有时不一定很理想，下面我们将讨论一种新的近似方法，也就是Taylor公式． 由微分的知识可知，，其中的是否可以写为呢？如果可以的话，可以用代替式中的，假设已知，则可以用近似，这一种近似的效果显然要精确的多．看下面的定理： 定理 6.14 如果函数在含有的开区间内有直至阶导数，则当时，可以表示为的一个次多项式和一个含有余项之和．即 ． 其中介于与之间． 证 若令，则只需要证明 ， 其中介于与之间． 下面利用Cauchy中值定理来证明．事实上有，，．．．，，所以 所以介于与之间． 定理中的关系称为Taylor公式．称为Taylor公式的Lagrange余项． 特别地，在时，有 ，（介于与之间） 称为Maclaulin公式． 上面我们给出的Taylor公式是带Lagrange余项的，下面我们给出带Peano余项的Taylor公式 定理6.15如果函数在处有阶导数，则存在的一个邻域，对于该邻域中任意有 ． 其中． 证 （略） 定理中的公式称为带Peano余项的Taylor公式．称为Taylor公式Peano余项. 例6.15　求函数，，，，在处的Taylor公式． 解 由于对任意的，有 ； ； ； ． 所以 ； ； ； ； 所以在的Taylor公式为 ； 在的Taylor公式为 ； 在的Taylor公式为 ； 在的Taylor公式为 ； 在的Taylor公式为 ； 　例6.16　求在处的Taylor公式． 解 例6.17　求在在处的Taylor公式． 解 ． 例6.18　求在处的Taylor公式． 解 ． 例6.19 求（为任意实数）在处的Taylor公式． 二、多元函数的Taylor公式 与一元函数类似，多元函数也有中值定理与Taylor公式。 1．中值定理 首先，我们给出两元函数的中值定理． 定理 6.16 设两元函数在凸区域上是一个可微函数，则对于此区域中任意两点存在，使得 证 设 是上的一元函数，在上连续，在可微。则由一元函数中值定理，存在，有 即 由上面结果可以直接得到如下推论 推论 6.2 设两元函数在区域上的偏导数恒为零，那么在区域上为常数。 类似地，我们可以得到多元函数的中值定理 定理6.17 设元函数在凸区域上是一个可微函数，则对于区域中任意两点存在，使得 证 （略） 2．Taylor公式 我们先对二元函数给出Taylor公式.下面是带Lagrange余项的的Taylor公式. 定理6.18 如果函数在在点的一个邻域中有直至阶连续偏导数，则对，存在使得 ． 其中 ， 证 设 是上的一元函数，在上有阶连续导数，于是，在处有Taylor公式 令，得 代入即得 定理中的公式称为Taylor公式．称为Taylor公式的Lagrange余项，当时，称为Maclaurin公式． Taylor公式中令就得到了中值定理。 上面我们给出的Taylor公式是Lagrange余项的，容易得到带Peano余项的Taylor公式 推论 6.3 如果函数在在点的一个邻域中有直至阶连续偏导数，则对，有 ． 证 （略） 类似地，我们可以得到多元函数的Taylor公式 定理6.19 设元函数在点的一个邻域中有直至阶连续偏导数，则对，存在，使得其中 证 （略） 例6.20 求函数的Maclaurin公式（到四次项为止） 解 三、Taylor公式的应用 Taylor公式有很多应用，可以应用于近似计算、求极限、证明等式与不等式，下面仅举几例说明。 例6.21 计算的值，使其误差不超过. 解 我们知道的Taylor公式为 ； 令得到 由，得到。于是的近似值为 例6.22 求函数在点的Taylor公式（到二阶为止），并且用于计算的近似值. 解 于是 例6.23求极限 解 本题用L’Hospital法则不易求出，我们用Taylor公式计算。 因为 于是 例6.24 证明不等式， 证 由Taylor公式有 于是 显然 所以成立不等式， 习题6.3 1。 求下列函数带Peano余项的Maclaurin公式 （1）； （2）； （3） 2．求下列函数在指定点处带Lagrange余项的Taylor公式 （1）， （1），； （2），。 3．求函数在的Taylor公式。 4．求函数的Maclaurin公式 5。利用Taylor公式近似计算（精确到0.00001） 6.应用Taylor公式求极限 （1）； （2） 7．设在上二次可微，且对任意，有，又，证明