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第三章 外微分是和活动标架 一 外微分形式 1 代数 主要概念 维向量空间，外乘、代数 设是n维向量空间，是它的一组基。其中,（2）主要性质和公式 命题1 代数满足反交换律。则。 推论 　设 则。 命题2 设是一维基，,则有 推论1 中的一组向量是线性无关的必要和充分条件是：. 推论2 设是的另一组基，并且 则有 。 2 外微分形式 主要概念 坐标域上的函数环上的模，外微分、外微分形式、次外形式（简称形式）。 主要性质与公式 设坐标域中点的坐标是，它们的微分是，是以基底的系数属于上的函数环的模，然后用做代数：,其中 ， 。 定义 外微分为对于 定义了外微分的代数称为上的外微分形式代数，它们的元素称为上的外微分形式，其中中的元素称为上的次外形式，形式又称形式。 引理 给上的个线性无关的形式，如果在上另有个形式，使得 ， 则存在上的函数，使得其中. 推论 如果上存在两个函数和，满足，则存在上另一个函数使得。 引理 　设 ，则。 公式 设是中一个维区域，是的边缘，则下列公式成立：。 例题 设是中的一个区域，坐标是，是函数环是以为基，系数属于的模。 ， 　　　　　　　　　　　　　　 其中都是的函数。 设则 　　　 。 设 3 定理 主要概念： 形式，方程组、等价性、完全可积、积分曲面、条件。 主要性质和公式： 给出坐标域上的形式，如果存在的形式，使得，则称为形式是满足条件的。不过，常用的是这个条件的等价命题。 命题 　如果两个方程组和是等价的，并且其中一组形式满足条件，则另一组形式也满足条件。 定理 如果一组形式满足条件，则方程组是完全可积的。 下面要指出：一个方程组等价于一个一阶偏微分方程组，而方程的条件就是这个一阶偏微分方程组的完全可积的条件。 设是中一个区域，坐标我们把上的Pfaff方程组写成以下形式：　　　　　　，其中，于是我们可以从这组方程中解出，从而得到方程组的等价方程组 。这个方程组又等价于一阶偏微分方程组 。 方程组的条件是： 即有： 。 因为＝－，所以 。 它也可以写成：　 这就是一阶偏微分方程组的完全可积的条件。 二　活动标架 1合同变换群 主要概念 中的合同变换、活动标架。 （2）主要性质和公式 给出中一个直角坐标系，中任意　一点的坐标是，即 设合同变换把点变成点，后者的坐标是，即： 　 现在我们要给出合同变换的坐标变换公式。 　设合同变换把直角坐标系变成另一个直角坐标系，使得 。 容易证明：合同变换的坐标变换公式是 ， 其中系数矩阵是正交阵，即 注意：合同变换的坐标变换公式中的系数，完全由直角坐标系所确定，因此，中的合同变换和直角坐标系是一一对应的，一个直角坐标系确定一个合同变换。我们把直角坐标系称为标架，变动的直角坐标系称为活动标架。 　命题 中的全体合同变换或全体标架构成一个群，称为合同变换群。 2活动标架 设活动标架变动时光滑地依赖于个参数，（）则称为参数活动标架。 计算参数活动标架的无穷小位移： 其中系数和都是参数的形式，称为活动标的相对分量。 因为，把此式外微分以后，得到 所以，并且,,相对分量中只有六个是独立，这与合同变换的系数或活动标架的参数只有六个是独立的这一事实是一致的。 活动标架的无穷小位移实际上就是活动标架的微分方程，系数是相对分量。这组微分方程是否完全可积呢？必须讨论它的可积条件，即条件和。于是我们得到了活动标架的结构方程： 3活动标架法 主要思想 中的合同变换是全体活动标架所组成的群。给出一个带有个参数的几何图形。（实例：曲线是单参数图形；曲面是双参数图形）设法使图形的每一个点对应一个标架，则这个几何图形就转换成参数活动标架。于是这个参数活动标架的无穷不位移就变成了去计算参数活动标架的相对分量，再计算这组相对分量应满足的结构方程，使得方程完全可积。因此，我们所研究的几何图形的微分性质完全由它所对应的活动标架的无穷小位移的相对分量和它们所满足的结构方程所确定。这就是法国数学家所创造的活动标架的主要思想。 活动标架法的步骤 第一步：寻找与所研究的几何图形一一对应的参数伏雷内活动标架。 第二步：计算参数活动标架的无穷小位移从而确定活动标架的相对分量。 第三步：计算活动标架的相对分量相应满足的结构方程： （3）实例 研究空间曲线的几何性质： 第一步：寻找与空间曲线一一对应的单参数活动标架，它就是空间曲线伏雷内标架： ：，，。 第二步：计算伏雷内标架的无穷小位移： ，， 因为，所以，，。因为，所以。命 ，。 我们得到了伏雷内方程 所以，究竟曲线的活动标架的无穷小位移实际上就是伏雷内方程。 第三步：计算相对分量所应满足的结构方程。由于相对分量都是单参数形式，它们的外微分等于零，即，因此与空间曲线相对应的单参活动标架没有结构方程，换言之，伏雷内方程是完全可