第三章 MHD不稳定性.doc

第三章 MHD不稳定性 3.1 扭曲模与交换模 不稳定性来自等离子体中的自由能。一般来说，大尺度不稳定性的自由能主要来自各种物理量的梯度分布。在等离子体中主要就是等离子体本身温度、密度分布，以及磁场的梯度。前者就是压强梯度，后者可以产生电流，特别是场向电流。所以MHD不稳定性主要包括电流驱动的扭曲模（撕裂模）和压强驱动的交换模（气球模）。 有关这两种MHD模式，我们在《高等等离子体物理I》中已经讨论过。 交换模（气球模）主要来自能量原理中的压强驱动项 。 由，显然有，如果（），则平衡是不稳定的；反之，若（），则平衡是稳定的。我们称（）是坏曲率，而（）是好曲率。如果磁力线的固定的，则只有非常局域的短波模式才能增长起来。这种局域短波模式称为“气球模”（或者“气泡模”）。 扭曲模（撕裂模）主要来自能量原理中的电流驱动项 。 扭曲模的主要特征是： 磁力线具有因为引起的螺旋结构； 螺旋结构导致等离子体的整体扭曲； 扭曲与长波扰动相同的（共振的）螺旋结构。 这些共振的扰动结构一定发生在环形等离子体的有理面上，因为在有理面上的磁力线才能与螺旋 3.2 撕裂模3.2 .1 磁岛、磁重联 扭曲模发展起来之后，会在小尺度上形成很强的梯度。在这样的尺度上，非理想MHD效应如电阻效应、电子惯性、电子压强梯度、甚至波-粒子相互作用引起的反常（湍性）电阻等可能成为重要的，理想等离子体的磁力线冻结条件被破坏。相邻因为不稳定性引起的磁重联为撕裂模。在理想扭曲模被抑制住之后，先进托卡马克中理想MHD模式都是稳定的所以其MHD活性是以撕裂模为主的，包括新经典撕裂模（NTM）、双撕裂模（DTM）、锯齿模（Sawtooth）、 误差场锁模式（Mode Locking）等。3.2 .2 经典撕裂模 经典的FKR）的H. P. Furth, J. Killeen, and M. N. Rosenbluth, 1963: Phys. Fluids 6, 459）。这一理论主要关心极向模数的有理面上的磁重联和磁岛生长过程。这样的有理面上的电流分布可以用Harries电流片来近似，相应的平衡磁场分布 ， 这里我们已经用到约化磁流体（Reduced MHD, RMHD）近似：对简单的圆截面托卡马克平衡，近似有，这里是环向角，而环向场假设是常数。有环向电流 ， 及安全因子（Safety Factor） ； 在有理面上，。在这种平衡下，发生磁重联的场实际上是去掉有理面上磁场剩下的辅助（Auxiliary）场。所以，这时的所谓导向场（Guide Field）不是环向场而是Helical场。在实际计算中，我们把这个“导向场”的方向定义为，有 ； ； 而。则对于平衡磁场，，，其中，。 如果假设扰动磁通，理想磁流体近似下可以得到 ， 及其严格解 。 这个解有电流奇异性。所以我们引入电阻耗散来resolve”这一奇异性。因为电阻的引入，我们有了一个MHD空间尺度，又有一个非理想效应的空间尺度。因此，我们采用渐进方法（Asymptotic Methods）的一种：边界层（Boundary Layer）方法来解这个问题。 边界层方法的主要思想是在有不同空间尺度的问题里，把物理问题分成两个空间区域求解。在MHD大空间尺度区（外区，Outer Region），我们仍然用理想磁流体近似；但在电阻效应起作用的“非理想”效应的小空间尺度区（内区，Inner Region），我们求解电阻磁流体方程组；然后把两个区的解用匹配条件（Matching Condition）连接起来得到常磁通近似下撕裂模的增长率 。 或者，。这是一个增长相对缓慢的模式。 3.2 . 非线性撕裂模Rutherford理论 常数磁通近似下的非线性撕裂模理论最早是Rutherford（P. H., 1973: Phys. Fluids 16, 1903）发展起来的。我们这里用一种简化模型（X. Wang A. Bhattacharjee, 1997: Phys. Plasmas 4, 748）来推导这一理论的结果。 对于常数磁通近似下的非线性撕裂模，从Ohm定律出发，借助于的分析方法，我们得到 。 这里是磁岛的半宽度，是跨越磁岛的磁场跳变。因为在磁岛邻域 ， 沿着磁岛边缘（磁分形线）有 ， 在常数磁通近似下，我们有 ， 后面一个等号是无量纲化的结果。考虑到 ，我们得到 ， 。 其解为 。 这个解不仅是缓慢（algebraic