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一类分形曲线的解析表达式 ∗1) ∗ ∗∗ 郝五零 张伟 郝军军 ∗ （北京工业大学机械工程与应用电子技术学院，北京 100124） ∗∗ （云南大学物理科学技术学院，昆明 650091） 摘要 在分形几何中，有着各种各样的分形曲线。求出分形曲线的解析表达式是一件非常有意义的事。本文Koch 曲线 n 研究的基础上，研究较为复杂的Koch类曲线。对于生成元为 2 ( n 为正整数)段的Koch类曲线，可以用 2 进位制的 n 2 n 办法求出其解析表达式。而对于生成元不是 ( 为正整数)段的Koch类曲线，因为它们的生成元的线段不能与 2 进位数相对应，所以就要用与生成元段数相对应的进位制来表示曲线，从而构造出特征角序列函数 H ,然后运用归 纳的方法求出其解析表达式。这对于研究一般严格自相似的规则的分形曲线，是一种比较普适的有效方法。 关键词 分形，特征角序列，迭代函数系统，解析表达式 引 言 1967年，美籍法国数学家曼德布罗特(B.B. Mandelbrot)在Science杂志上发表了一篇题为“英国的 海岸线有多长？”[1]的划时代的论文，这是他的分形思想萌芽的重要标志；1973年，他提出了分形 几何学的整体思想；1975年，他创造了分形(fractal)这个词，并著成了《分形对象：形、机遇和维数》 (Fractals: Form , Chance and Dimension)[2]一书；1982年，他又出版了《大自然的分形几何学》(The Fractal Geometry of Nature)[3, 4]，这两部著作的发表标志着分形理论迈进了现代新兴学科之林。 分形的发展是迅速的，其研究领域也是广泛的，但在许多实际问题的研究中，常常需要用各种 各样的分形曲线[5]来描述一些粗糙的、高度振动的曲线，例如对商品价格波动曲线、海岸线、高分 子链等进行的模拟。使用几何的描述性语言来进行描述是简单的，但分析却是比较困难的，这就需 要找出分形曲线的解析表达式。 在文献[6,7]中，用解析的办法求出了生成元为4段的Koch 曲线的解析表达式。在此基础上，文献 [9] n [8]将生成元的线段与2进位数 相对应研究了生成元为2 ( n 为整数)段的Koch类曲线，例如生成元为 4 ( 即22 )段的Koch 曲线和生成元为8 (即23 )段的Koch类方波曲线。在这些曲线的压缩变换组[10]的条 [8] [11] [8] 件下，运用待定系数法 求出其特征角序列函数 。然后在连续性条件 下，得到此类曲线的解析表 n 达式。在本文中，我们将此方法加以推广来研究生成元不是2 ( n 为整数)段的Koch类曲线，例如生 成元分别为5段、6段和7段的方Koch 曲线、Koch类尖波曲线和Koch类菱形曲线，因为它们的生成元 的线段不能与2进位数相对应，所以就用与生成元段数相对应的进位制来表示曲线，这样就可以研究 其解析表达式。 本文第一部分详细讨论了生成元为5段的方Koch 曲线，第二部分和第三部分简要叙述了生成元分 别是6段和7段的Koch类尖波曲线和Koch类菱形曲线，第四部分对所有的Koch类曲线进行了总结，给 出了求解此类曲线的统一的普适的方法。 1 方Koch 曲线 1.1 方Koch 曲线的生成及迭代函数系