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* 第二章 确定性信号、随机变量与随机过程 §2.1 确知信号的频域描述 一、Fourier级数和Fourier变换 定理2.1.1（Fourier级数）x(t)是周期为T0的函数，如果 ① x(t) 绝对可积; ② x(t) 在一个周期中至多有有限次振荡； ③ x(t) 在每周期中间断点个数有限，则x(t)可表示为 x(t) 在 t 连续 x(t) 在 t 间断 定理2.1.2 (Fourier变换) 若函数x(t)满足如下条件： ① x(t)绝对可积， ② x(t)在任何有限实区间上至多有限次振荡； ③ x(t)在任何有限实区间上至多有有限个间断点; 则有如下的变换关系: x(t) 在 t 连续 x(t) 在 t 间断 注意2：若x(t)是实函数，则X(f)具有Hermitian性质； 注意3：泊松公式，若 其中 注意1： 若 ， ，由于 二、周期信号的Fourier变换 设x(t)是周期为T0的周期信号， 三、能量型信号的能量谱 能量型信号能量有限，即满足 。由巴塞瓦尔公式 能量谱密度： 信号的相关函数： 注意：功率信号x(t)通过脉冲响应为h(t)的滤波器的输出为 四、功率型信号的功率谱密度 功率型信号 的功率是有限的， 功率型信号的相关函数： 功率型信号的功率谱密度 ： 五、窄带信号（带通信号）和窄带系统（带通系统） 1．窄带信号 定义：信号x(t)称为是带通的，或窄带的，指它的Fourier变换X( f )在 某个高频 f0 附近一个小领域上不为零，在其它地方为零，即 ， ， f0 A X( f ) -f0 同样带通系统（窄带系统）是指它的传递函数H( f )是窄带的， 即存在 f0 使 ， ， 如果带通系统是理想的指 ， f0 A X( f ) -f0 在通信中常碰到信号 可写成 现要证明，对任意窄带信号x(t)，它可以写成 其中 是 的Hilbert变换。 复包络为 （1）单频信号 引入复数表示： 表示相位子（复包络） 以角频率2?f0反时针旋转，即 。在频率域上相当于把 在频轴上向左移 ， 得到复数 xl。 如何得到 ：在频域上删除 的负频分量， 其中 再乘以2，即 （2）一般窄带信号的复包络（相位子） 设x(t)是窄带信号， ，寻找x(t)的复包络 首先在频域上删除 的负频分量，再乘以2，得到 再求 由于 （利用 和 ） 所以 （利用对偶性 ，以及?(t)是偶函数） 所以 其中 称为是 的Hilbert变换。 看一下Hilbert变换的意义 所以 的Hilbert变换相当于把信号的正频分量移相 ，负频分量移 相 。Hilbert滤波器也称为正交滤波器。 f0 A X( f ) -f0 2A Z( f ) f0 2A Xl( f ) 为了获得带通信号 的复包络表示（即等效低通表示），把 向左移 f0 ， 得到 的低通等效的时域表示 显然 ， ， 一般复包络 是复信号，所以 由于 所以 记 ， x(t)的复包络可写为： V(t)和?(t)是慢变化时间函数 *