第二章课件(3).pptVIP

* §2.3 平稳随机过程 一、随机过程描述 随机函数 ：依赖于参数t 的随机变量 ， 1．用分布函数来描述 对任一时刻 ， 是随机变量 ， 对任意给定个时刻 t1, t2, …, tn，n维分布函数: n 维分布密度: 2．用数字特征描述 任意二个时刻 t1，t2值的 和 的协方差函数： 自相关函数： 二个随机过程 的互相关函数为： 二、平稳随机过程 所谓平稳随机过程指它的任何n维分布函数与时间起点无关，即对任何 n ： 从而对任何 ， 对于一维分布，取 ，于是一维分布和分布密度与时间 无关，可记为 和 。 对于平稳过程 均值： 方差： 自相关函数： 如果一个随机过程的均值，方差为常数，自相关函数只和时间 差有关，则称这随机过程为广义平稳的，相应原未定义的平稳 过程亦称为严平稳过程。 三、各态历经过程（Ergodic过程） 对于平稳过程 X(t)，和任何函数 g(x)，有二种平均： 1．集合平均： 2．时间平均： x(t)为X(t)的一个样本函数，则g(x(t))的时间平均为： 一个平稳过程 x(t) 具有Ergodic性，指对任何函数 g(x)： 各态历经平稳过程的均值和方差可用样本函数的时间平均代替， 四、相关函数与功率谱 相关函数性质 ① ② 有时为了强调是随机过程 的相关函数，也记为 。 ③ ④ 称为直流功率 可以认为当 时， 和 独立， 因为 所以 因为 所以 也称为为交流功率，一般平稳过程的相关函数 R(? ) 有 如下图形状： R(? ) ? 功率谱 设 x(t) 为平稳随机过程 X(t) 一个样本函数，xT(t) 为它的截断 功率谱定义为： 可以证明： 当功率谱为常数时，即 ，则随机过程 X( t ) 称为白色的， 相应的相关函数 。 [例] ，其中? 为 上均匀分布随机变量， ， 五、平稳随机过程通过线性系统 h(t) X( t ) Y( t ) 平稳过程 的样本函数 x( t )，它通过线性系统 h( t )的输出为： 输出过程为： ① 输出过程 的均值： ② Y(t)的自相关函数 ③ Y(t) 的功率谱 ④ 线性系统的等效噪声带宽 白噪声 ，通过滤波器 输出功率谱： 滤波器等效噪声带宽： 输出总功率： Bneq f Hmax ⑤ 二个随机过程的互相关函数 随机过程X( t )和Y( t )之间的互相关函数为 显然， 如果 仅和有 关，则称 X(t) 和 Y(t) 为联合 广义平稳的。如果 其中 。 六、高斯过程 如果随机过程 的任何 n 维分布均为高斯分布，则该过程称 为高斯过程，即对任何 ， 其中， ， ， 可见高斯过程的分布密度仅和各随机变量均值，方差和二阶矩有 关，所以如果高斯过程是广义平稳的，则它必定是严格平稳的。 对于白高斯噪声，这时各时刻的随机变量不相关， 即 ，这时 ， 由于高斯随机变量相加后仍为高斯变量，所以高斯过程通过线 性系统的输出仍然是高斯的。 七、带限过程及其采样 定义：平稳随机过程 称为是带限的，指它的功率谱 ， 。 f PX ( f ) W -W 0 定理：令 是平稳带限过程，即 ， ， 则下面式子成立： 其中， ， 可以写成， （均方意义下成立） 八、平稳带通过程 定义：随机过程 称为是带通的（或窄带的）是指 ， ， f0 PX( f ) -f0 f 我们寻找窄带过程的复包络表示，也就是它的等效低通表示。 因为X(t)是带通过程，所以它的自关函数 是一个确定 的带通函数。 令 通过脉冲响应为 的Hilbert滤波器，输出为 ， 则 我们可以定义二个新的过程 和 分别称为随机过程 的低通同相分量和低通正 交分量，当