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2006 年第 11 期 15 专题写作 数列的对折变换问题 胡 　德 (江苏省泗阳县致远中学 ,223700) 给出数列的对折变换的概念. 1 　问题的提出 将项数为 2 n 的数列 1 ,2 ,3 , …,2n 从左 这是一个有趣的问题 ,它的原型是一道 至右依次填入 1 ×2 n 的方格纸的各个方格 小学数学竞赛题. 中 ,将它对折一次成为 2 层 ,底下一层从左至 题目 　在一张 1 ×16 的方格纸的各个方 右依次为 1～2 n - 1 ,上面一层从左至右依次为 格中 ,从左至右依次填入 1 ,2 , …,16 ,将它对 2 n ～2 n - 1 + 1 ;再对折一次成为 4 层 , 从下到 折一次成为 2 层 ,底下一层从左至右依次为 上各层自左至右依次为 1～2 n - 2 , 2 n ～3 × 1～8 ,上面一层从左至右依次为 16～9 ;再对 2 n - 2 + 1 ,2n - 1 + 1～3 ×2 n - 2 ,2 n - 1 ～2 n - 2 + 1 ; 折一次成为 4 层 ,从下到上各层自左至右依 ……. 如此对折 n 次 ,每次 1 都在最下一层 , 次为 1～4 ,16～13 ,9～12 ,8～5 ; ……. 如此对 最后成为 2 n 层 ,各层上的数依次构成一个新 折 4 次 ,每次 1 都在最下一层 ,最后成为 16 的数列 ,记为 f n ( 1) ,f n (2) , …,f n (2 n ) 或简记 ( ) 层 每层一格 . 问 为{f n ( k) } . ( 1) 有多少个数与它所在的层数相等 ? f n ( k ) 是数列 1 ,2 ,3 , …,2n 到自身的一 (2) 第 11 层上的数是什么 ? 个变换 ,叫做数列 1 ,2 ,3 , …,2n 的 n 阶对折 此题中数 16 较小 , 可将数字写在一张 变换.f n ( k ) 表示将数列 1 ,2 ,3 , …,2n 经过 1 ×16 的方格纸上 ,按要求对折. 易知有 4 个 n 次对折后第 k 层上的数. 与它所在的层数 数与它所在的层数相等 ,第 11 层上的数恰是 相等的数 , 即方程 f n ( k ) = k 的解 , 也就是 11. f n ( k) 的不动点. 接下来考虑 : 问题的一般情形可叙述为: 在一张 1 ×2 048 的方格纸的各个方格 数列的对折变换问题 　f n ( k) 是数列 1 , 中 ,从左至右依次填入数 1 ,2 , …,2 048 ,对折 n 2 ,3 , …,2 的对折变换. 方式不变. 问 ( ) ( ) ξ 1 求f n k 的不