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第8章 第5节 一、选择题 1．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为(　　) A．8π　　　B．8π　　　C．4π　　　D．4π [答案]　B [解析]　球的半径R＝＝， S＝4πR2＝8π故选B. 2．已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是(　　) A. B. C．14 D．7 [分析]　根据三视图还原出空间几何体，按照体积计算公式进行计算． [答案]　A [解析]　这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V＝×(12＋＋22)×2＝. 3．设矩形的边长分别为a，b(a＞b)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为Va和Vb，则(　　) A．Va＞Vb B．Va＜Vb C．Va＝Vb D．Va和Vb的大小不确定 [答案]　B [解析]　由题意，Vb＝π()2b＝a2b，Va＝π()2a＝b2a，因为a＞b，所以Va＜Vb. 4．(2010·新课标文)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 [答案]　B [解析]　本题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此题是简单题，在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径． 由题可知，长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝，解得R＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2，故选B. 5．已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x＋y＝4，则三棱锥体积的最大值是(　　) A. B. C．1 D. [答案]　B [解析]　由条件可知V三棱锥O—ABC＝OA·OB·OC＝xy≤()2＝，当x＝y＝2时，取得最大值. 6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为(　　) A．(16＋π)cm3 B．(16＋3π)cm3 C．(20＋4π)cm3 D．(18＋π)cm3 [分析]　本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算，解题的关键是根据三视图想象出几何体的直观图，再利用体积公式进行求解． [答案]　B [解析]　由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱．正四棱柱的底面边长为4cm，高为1cm，其体积为16cm3；圆柱的底面半径为1cm，高为3cm，其体积为3πcm3.所以该几何体的体积为(16＋3π)cm3. 7．若圆锥轴截面的顶角θ满足θ，则其侧面展开图中心角α满足(　　) A.α B.α C.απ D．παπ [答案]　D [解析]　θ∈　∈， sinθ∈. 又＝sinθ， 其侧面展开图中心角α＝·2π(π，π)． 8．(2010·全国卷理)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2.则四面体ABCD的体积的最大值为(　　) A. B. C．2 D. [答案]　B [解析]　过CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD＝×2××2×h＝h，当直径通过AB与CD的中点时，hmax＝2＝2，故Vmax＝. 二、填空题 9．(2010·天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． [答案]　 [解析]　由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×＋1×1×2＝. 10．(2011·广东广州)将圆心角为，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于__________． [答案]　4π [解析]　设扇形的半径为r，弧长为l，则有rl＝··r2＝3π，所以r＝3，l＝2π，于是圆锥的母线长为3，底面半径为1，故表面积S＝π·1·3＋π·12＝4π. 11．(2010·湖北理)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如右图所示)，则球的半径是________cm. [答案]　4 [解析]　设球的半径为r，根据题意可得8πr2＋3×πr3＝6πr3，解得r＝4. 三、解答题 12．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ [解析]　作轴截面如图，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S， 则2＋r2＝R2，即h＝2×， S＝2πrh＝4πr· ＝4π ≤4π＝2πR2， 当且仅当r2＝R2－r2时取等号，此时内接圆柱底面