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第 14 讲 一阶微分方程的求解 知识点 1：可分离变量的方程 （1）方程的形式：f 1(x )g 1(y )dx f 2 (x )g 2 (y )dy 0 （2 ）解法：先变量分离，再两边分别对x , y 积分 题型 1：直接解方程  y (1x ) 例 1：求微分方程y 的通解 x dy 1x dy 1x 解：变量分离得 dx 积分  dx y x y x 得ln y ln x x C1 ，整理得y Cxex 注释：在求解微分方程时，一定要注意任意常数的处理。 题型 2 ：先建立微分方程然后求解 y x x  x 例 1：已知函数y f (x ) 在任意点 处的增量y 2 ，其中 是比 1x (x 0) 的高阶无穷小量，且y (0)  ，则y (1) _____. y x 解：由于y 2 ，其中是比x (x 0) 的高阶无穷小量，则 1x y dy 2 dx ，变量分离得 1x dy dx y 1x 2 积分得通解为y Ce arctan x 再由y (0)  得 C   故y Ce arctan x ，y (1) e 4 注释：本题首先要根据微分定义将问题转化为微分方程求解问题。 例 2 ：在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群总数为 N t 0 x t x (t ) ，在 时刻已掌握新技术的人数为 0 ，在任一时刻 已掌握新技术的人数为 （将 视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数 ( )t x 之积成正比。比例系数k 0 ，求x (t ) . dx  kx N ( x) 解：由题意可知 dt  x x  t 0 0 dx 变量分离得 kdt x (N x )  NCe kNt 积分得 x 1CekNt Nx e kNt 代入初始条件得x 0 N xe x  kNt 0 0 注释：本题首先要根据导数的实质是个变化率，然后将问题转化为微分方程的求解问 题。 2x t