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第二章 函数概念及基本初等函数（Ⅰ） ——指、对、幂函数 编者：蒋亚红 ， 校对：宋雪瑾 模块学习建议 我们已经知道，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。面对纷繁复杂的变化现 象，我们还可以根据变化现象的不同特征进行分类研究。例如，在自然条件下，细胞的分裂、 人口的增长、生物体内碳 14 的衰减等变化规律，可以用指数函数模型来研究；地震震级的 变化规律，溶液 pH 的变化规律等可以用对数函数模型来研究；正方体的体积与边长间的关 系、理想状态下气体的压强与体积的关系等，可以用幂函数模型来研究。指数函数、对数函 数和幂函数是三类重要且常用的基本初等函数，是进一步学习数学的基础。根式、分数指数 幂、对数指数函数与对数函数的基础，我们要先掌握它们的概念与运算性质。指数函数、对 数函数和幂函数的图象是它们性质的直观体现，所以我们要先学会画它们的图象，观察它们 的图象，充分利用图象来研究它们的性质和解决一些问题。对数的发明是一个伟大的创举， 指数的发展是一段漫长的历史，希望大家在该模块的学习过程中充分利用计算机查找与指 数、对数有关的史料，感受数学家的勤劳与智慧，体会数学的文化价值，了解数学在人类文 明发展中的作用。 2.2 指数函数 一、单元主题研究 1.学习主题：借助信息技术探究指数函数的图象与性质 2.研究思路：几何画板、图形计算器等作图软件有强大的作图和分析功能，利用它们可 以对图象进行动态演示，重复引起变化的关键因素，局部放大等等，可以使我们方便地观察 函数的整体变化情况，同时还能对其中的细节进行考察，这样就可以从函数图象的变化中获 y a 的变化可以借用一条一端固定于 轴的水平线段PA 来实现， 取大量关于函数特点的信息。 P 点固定，拖动点 A ，A 的横坐标x A 显示的就是a 的取值。 3.研究成果：用小论文的形式呈现（数形结合） （1）指数函数 x y a (a 0, a 1) 的图象特点及相应的函数性质； 1 （2 ）对同一个a ，指数函数y ax 与y ( )x (a 0, a 1) 的图象的关系； a x （3 ）当a 变化时，指数函数y a (a 0, a 1) 的图象的变化规律。 二、单元预习指导 1.学习要求： 14 （1）通过具体实例（如细胞分裂，考古中所用的 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化 等），了解指数函数模型的实际背景认识学习指数函数的必要性；理解有理指数幂的含义， n n 通过具体实例了解实数指数幂的意义，理解 次方根与 次根式的概念，熟练掌握用根式与 分数指数幂表示一个正实数的算术根；能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进 行根式与分数指数幂的相互转化。 （2 ）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索 并理解指数函数的性质，能利用函数的平移与对称变换，讨论指数函数的图象；能运用指数 函数的单调性，比较两个指数式值的大小，能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、 值域、单调性等。在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2.预习提纲： （1）复习八年级（上）P51-52 页平方根的定义与性质、P55-56 立方根的定义与性质；九 年级（上）P58-59 二次根式的定义与性质。 ①一般地，如果_____________ ，那么这个数叫a 的平方根，记作_________ 。 一个正数有_________个平方根，它们_________ ，其中_________也叫a 的算术平方根