2013高考数学(理)一轮复习教案：第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第2讲 函数的单调性与最值.docVIP

第2讲　函数的单调性与最值 【2013年高考会这样考】 1．考查求函数单调性和最值的基本方法． 2．利用函数的单调性求单调区间． 3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围． 【复习指导】 本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握． 基础梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． 2．函数的最值前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 . 对于任意xI，都有f(x)≤M； 对于任意xI，都有f(x)≥M； 存在x0I，使得f(x0)＝M 存在x0I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“”连接． 两种形式 设任意x1，x2[a，b]且x1＜x2，那么 ＞0f(x)在[a，b]上是增函数；＜0f(x)在[a，b]上是减函数． (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0f(x)在[a，b]上是减函数． 两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 双基自测 1．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为(　　)． A．(－2,0)(2，＋∞) B．(－∞，－2)(0,2) C．(－∞，－2)(2，＋∞) D．(－2,0)(0,2) 答案　C 2．(2011·湖南)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　)． A．[2－，2＋] B．(2－，2＋) C．[1,3] D．(1,3) 解析　函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1.即x2－4x＋2＜0，解得2－＜x＜2＋. 答案　B 3．(2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是(　　)． A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0)(0,1) D．(－∞，－1)(1，＋∞) 解析　由已知条件：1，不等式等价于解得－1x1，且x≠0. 答案　C 4．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______． 解析　要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，即x＞－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x＞－时，u＝2x＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是. 答案　 5．若x＞0，则x＋的最小值为________． 解析　x＞0，则x＋≥2 ＝2 当且仅当x＝，即x＝ 时，等号成立，因此x＋的最小值为2 . 答案　2 　　 考向一　函数的单调性的判断 【例1】试讨论函数f(x)＝的单调性． [审题视点] 可采用定义法或导数法判断． 解　法一　f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1＜x2， 都有f(x1)－f(x2)＝－＝， 其中x1－x2＜0，x＋1＞0，x＋1＞0. 当x1，x2(－1,1)时，即|x1|＜1，|x2|＜1，|x1x2|＜1， 则x1x2＜1,1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，f(x)为增函数． 当x1，x2(－∞，－1]或[1，＋∞)时， 1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，f(x)为减函数． 综上所述