现代控制理论基础第2版 教学配套课件 合肥工大 王孝武 主编 第6章.pdfVIP

第6章 最优控制 最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何 选择控制信号，才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。本章 内容为： 1. 引言 2. 用变分法求解最优控制问题 3. 极小值原理及其在快速控制中的应用 4. 用动态规划法求解最优控制问题 5. 线性状态调节器 6. 线性伺服机问题 6.1 引言 什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明 问题6-1 电动机的运动方程为 d ? K I T J?? （1 ） m D F D d t K J 其中， 为转矩系数； 为转动惯 m D T 量； 为恒定的负载转矩； F t f ?t t ? dconst （2 ） ?0 希望：在时间区间[0，t ] 内，电动机从静止起动，转过一定角度? f t f 2 E R R I t t d I t 后停止，使电枢电阻 上的损耗 D D 最小，求 D ? D 0 I I 因为 是时间的函数，E 又是 的函数，E 是函数的函数，称为 D D 泛函。 采用状态方程表示，令 K T m F ? x x ? ?? ? ? x1 ? 2 1 x2 ?? I D J J D D 于是 ? 0 ? 0 ? ? ? x 0 1 x ? ? ? ?? ? 1 1 ?K ? ? 1 ? ? m I ? T （3 ） ? ?? ? ?? ? D F x2 0 ?0 ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? J J ? D ? ? D ? x t ? ? ? x 1 f ? ? ? 0 ? 0 1 ? ? I 初始状态 末值状态 控制 不受限制 ? ? ? ? x ?t ? ? ? D x 2 f 0 0 0 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? t f 2 （4 ） E R I t t d 性能指标 ?0 D D 本问题的最优控制问题是：在数学模型（3 ）的约束下，寻求一个 控制 ，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E 为 I t D 最小。 问题6-2 对于问题6-1 中的直流他励电动机，如果电动机从初始 t 0 ? I t I t 时刻 的静止状态转过一个角度 又停下，求控制 （ 是 0 D D 受到限制的），使得所需时间最短。 这也是一个最优控制问题： ? 0 ? 0 ? ? ? x 0 1 x ? ? ? ?? ? 系统方程为 1 1 ?K ? ? 1 ? ? m I ? T ? ?? ? ?? ? D F x2 0 ?0 ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? J J ? D ? ? D ? x ? 0 ? 0 ? ? x t 1 ? ? ? 初始状态? ? ? ? 末值状态 ? 1 f ? ? ? x ? ? 0 0 x t ? 2 ? ? ? 2 f 0 ? ? ? ? I t ≤I D max （5 ） D t f J t t d （6 ） 性能指标 ?0 f I t I 最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制 D ≤D max x tf 转移到 x0 ，使 ，将 J 为极小。 最优控制问题的一般性提法为 系统状态方程为 ? 初始状态为 x t x f x, u , t 0 其中，x 为n 维状态向量；u 为r 维控制向量；f 为n 维向量函数， 它是x 、u 和t 的连续函数，并且对x 、t 连续可微。 [ , t ]t u ?R r ?Uu ?R r 寻求在 0 f 上的最优控制 或 ，以将系统状 态从 转移到 或 的一个集合，并使性能指标 x t0 x tf x tf t f [ , J ] t t, , ? dx ?L x u t t f f ? t 0 L ,x ,u t x 、u 和t 的连续函数 最优。其中 是 最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。 补充：泛函与变分法 一、泛函与变分 1、泛函的基本定义： ? ? x t x t 如果对于某个函数集合 中的每一个函数 ，变量J 都有一个 值与之对应，则称变量 x t J 为依赖于函数 的泛函，记作 ? ? J x t 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 例如： 3 J x [ ] x t t d x t [ 0 ,3 ] ? （其中， 为在 上连续可积函数） 0 t x t t J 4.