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第六章微分方程小结 掌握微分方程的几个概念 1.微分方程：凡含有自变量、未知函数及未知函数的导数的关系式，称为微分方程． 这个方程必须含有未知函数的导数。 2.微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶． 3.通解：如果微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解． 注意，通解需要三个条件：（1）这个函数是方程的解；（2）解中含有独立的任意常数；（3）任意常数的个数与方程的阶数相同。所以要验证一个函数是否是通解，要从以上三点一一验证。 熟练求解微分方程 微分方程这一章最重要的是要能求它的解。我们知道并不是每个微分方程都能把它的解表达出来。我们只要能够针对教材上介绍的几种类型的微分方程会求解就可以了。所以我们拿到一个微分方程后首先就要能够知道它是什么类型的方程，然后用相应的办法求解就可以了。下面我们把每类微分方程和求解方法列在下面供参考。 微分方程的类型与求解方法 一阶微分方程 可分离变量的微分方程： 求解方法：分离变量，两边积分。 （2）齐次微分方程 求解方法：作变量代换 化为可分离变量的微分方程。 （3）一阶线性微分方程 求解方法：常数变易法，它实质上是作一个变量代换 求出通解为 （4）贝努利方程 求解方法：作一个变量代换 化为一个阶非齐次线性微分方程。 可降阶的高阶微分方程 （1） 求解方法：接连积分n次。 （2） 这种方程特点是不含未知函数只含有未知函数的高阶导数.。 求解方法：作变量代换 原方程化为一阶微分方程 求出通解 得高阶微分方程： 它是一个n-1阶微分方程，上式两边接连积分n-1次，可得到原方程的含有n个任意常数的通解． （3） 这种方程特点是不含右边不含自变量 求解方法：作变量代换 利用复合函数的求导法则求二阶导数： 将方程化为一阶微分方程 求出通解 得另一个可分离变量的微分方程 3. 二阶线性微分方程 （1）二阶常系数齐次线性微分方程 求解方法：先求特征方程的根 根据根的三种情形写出它的通解 特征根的情况 通解的表达式 实根 实根 复根 （2）二阶常系数非齐次线性微分方程 第一种情形： 有特解： 第二种情形 有特解： 其中