第二讲初等模型.pptVIP

1 思考题： 大包装的商品比小包装商品便宜。如某品牌牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 (1) 分析商品价格C与商品重量w的关系，价格由生产成本，包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 (2) 给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么？ 2、速度为V的风吹在迎风面积为S的风车上，空气密是 。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与V,S， 的关系。 模型分析 风(通过帆)对船的推力w 风对船体部分的阻力p 推力w的分解 ? ? w p 阻力p的分解 w=w1+w2 w1 w2 w1=f1+f2 f1 f2 p2 p1 p=p1+p2 模型假设 w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2， f1~航行方向的推力 p1 ~航行方向的阻力 w1=wsin(?-?) f1=w1sin?=wsin? sin(?-?) p1=pcos? 模型假设 ? ? w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 w2与帆面平行，可忽略 f2, p2垂直于船身，可由舵抵消 模型建立 w=ks1, p=ks2 船在正东方向速度分量v1=vcos? 航向速度v与力f=f1-p1成正比 v=k1(f1-p1) v1 v 2) 令? =? /2, v1=k1 [w(1-cos?)/2 -pcos?]cos ? 求?使v1最大（w=ks1, p=ks2） 1) 当?固定时求?使f1最大 f1=w[cos(?-2?)-cos?]/2 ? =? /2 时 f1=w(1-cos?)/2最大 = k1(f1-p1)cos? f1=w1sin?=wsin? sin(?-?) p1=pcos? 求?,? ,使 v1最大 模型建立 v1=vcos? ? ? w p w1 w2 f1 f2 p2 p1 v1 v 模型求解 60o ? 75o 1 t 2 v1最大 备注 只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程中终点B将不在正东方 记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)[1-(1+2p/w)cos?]cos ? w=ks1, p=ks2 1/4cos ?1/2 模型求解 v1=k1 [w(1-cos?)/2 -pcos?]cos ? s1 s2 2.7 量纲分析与无量纲化 物理量的量纲 长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 时间 t 的量纲记 T=[t] 动力学中基本量纲 L, M, T 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 导出量纲 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k] 对无量纲量?，[?]=1(=L0M0T0) 2.9.1 量纲齐次原则 =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2 量纲齐次原则 等式两端的量纲一致 量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 例：单摆运动 l mg m 求摆动周期 t 的表达式 设物理量 t, m, l, g 之间有关系式 ?1, ?2, ?3 为待定系数，?为无量纲量 (1)的量纲表达式 对比 单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 y1~y4 为待定常数, ?为无量纲量 设 f(q1, q2, ?, qm) = 0 ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r F(? 1, ?2,…, ?m-r ) = 0 与 f (q1, q2, ?, qm) =0 等价, F未定 Pi定理 (Buckingham) 是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, ? , Xn 是基本量纲, n?m, q1, q2, ? , qm 的量纲可表为 量纲矩阵记作 线性齐次方程组 有 m-r 个基本解，记作 为m-r 个相互独立的无量纲量, 且 则 [g] = LT-2, [l] = L, [?] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2 量纲分析示例：波浪对航船的阻力 航船阻力 f 航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度?, 重力加速度g。 m=6, n=3 Ay=0 有m-r=3个基本解 rank A = 3 rank A = r Ay=0 有m-r个基本解 ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r m-r 个无量纲量 F(?1, ?2 ,?3 ) =