化工问题的建模与数学分析方法 教学课件 作者 李希 编著 第二章习题.docVIP

第二章习题 求以下微分方程的解 解： (1) （2） （3） 2. 求解第一章给出的连续结晶器的稳态数学模型 式中，成核速率B，生长速率G，流量F均可考虑为常数，加入流体的粒数分布 为l的任意函数nin=nin(l)。 解： 求解以下方程： 的解。 分离变量得： 积分得： （C为常数） 设，将n的表达式代入原微分方程，得： 则，C1为常数。 代入n表达式得原微分方程解： l＝0时， 则原方程解为： 3. 电极加热炉中石墨电极棒的传热问题可用以下方程描述 式中D，U，A，T0均为常数，但导热系数kＴ为温度的线性函数，kT = k0 -(T，试求出上述方程的通解（建议：采用改进的p变换，可使求解更为简捷）。 解： 设,则有 原方程 变为: , 其中为任意常数; 将带入,变形得: 积分得X~T关系式为: 其中 为任意常数。 4. 设反应物A，B在液膜中发生以下瞬时反应 v为化学计量系数，该反应受扩散限制，试导出相应的W-变换并求出反应物A，B和产物P的浓度分布。 解： 此反应受扩散限制 （1） （2） (1)-(2)得 （3） 令 （4） 易由（3）可知 由定义式（4）可得的边界条件为 ；；其中为液膜厚度 由以上边界条件可得 （5） 在处，，此时（5）中，得 将定义式（4）两边平方，利用瞬时反应，不能共存的条件知，，于是有 将上式两边开平方，得 （6） 根据（4），（6），可以将，用新变量表出 ，（7） ，（8） 将（5）代入（7），（8）得 ， ， 产物的浓度分布为 5．O2和CO2在生物组织中的传递过程对于呼吸作用和光合作用具有根本的重要性。在生物组织中，溶解在液体（血液、组织液）中的O2通过渗透与扩散两种机制输送到组织内部供细胞呼吸，研究表明，在某一临界溶氧浓度c* 以上，单位体积的氧消耗速率为常数，设为q，因此，对于厚度为l的一片组织，代谢过程中氧的衡算方程为 式中U为液体渗透流率，D为溶氧扩散系数。设该组织外部的溶氧浓度为常数，则边界条件可表示为 试求出溶氧浓度沿组织厚度方向的分布，据此判断氧浓度在何处达到最小值？渗透速率U需满足什么条件才能保证在组织内部不会出现缺氧的情况（c(x) c*）？ 解： 齐次方程的特征方程为 解得 所以齐次方程的通解为 （1） 利用比较系数法，求得非齐次方程的特解 （2） 所以，非齐次方程的通解为 （3） 边界条件为 所以溶氧浓度沿组织厚度方向的分布为 （4） 对关于求一次，及二次导数 式中 令得 所以，氧浓度在达到最小值 为保证组织内部不会出现缺氧的情况，要求 即需要满足 6．（√）求以下变系数方程的级数解 （a） （b） (c) （a）解：将幂级数（4.5）代入方程，逐项比较系数，令首项的系数为0，得到指标方程为 指标方程的两个根为，属于第一种情况，可以将c代入递推公式确定各系数。 令项的系数为0，得递推公式为 首先将代入递推公式，有 可得 则方程的第一解为 接着将代入递推公式，整理得 则方程的第二解为 最后得到方程的通解为 （b）指标方程，重根c1=c2=0 递推公式为,将递推公式表示成an对参数c的函数形式 于是含有任意参数c的幂级数y(x,c)由下式给出 当c=0时，上式给出方程的第一解 第二解即 对各项求导，并令c＝0得 所以方程的通解为 （c）将幂级数代入后比较系数得到 指标方程 递推公式 指标方程的根为 两根相差一个整数m时，递推公式中am的系数将成为0而使之无法确定。首先确定由大根得到的级数，递推公式为 然后将c1＝0代入得到第一解为 注：级数推导详见微积分下册第274页 考虑以下含任意常数c的级数y(x,c) 上述级数在c＝-2处有奇异性，第二解y2由下式给出 方程的通解为 7. 环形法兰上的散热问题可用以下方程描述 式中k和h分别为法兰的导热系数和向周边环境的传热系数，T0为环境温度。边界条件为 在内圆边界 r = r1处: T = T1 在外圆边界 r = r2处: T = T2 试用有关的Bessel函数给出上述问题的通解并说明如何由边界条件确定通解中的任意常数。 （提示：作变换，化为标准形式） 解： 8.（√）用矩阵解法求以下一阶线性微分方程组的通解，并将通解用实函数表示。 （1） （2） （1）解：系数矩阵A的特征方程为 解得A的特征值 当时，特征向量方程为 式中的两个方程线性相关，取x1为独立变量，令x1＝1，得到相应的特征向量为 类