化工问题的建模与数学分析方法 教学课件 作者 李希 编著 第六章习题.docVIP

第六章习题 1. 用摄动法求解以下三次代数方程 证明其三个根的渐进展开式为 将以上解与数值解或准确解比较，取和0.1，讨论其结果。 解： ， （1） ① 证明：（A）设解具有如下形式的渐进展开式 （2） 将其代入（1）式，可得 （3） 比较两边的同幂次项系数，得到 ： ： ： 所求摄动解为： 由于方程（1）有三个根，用上述摄动法只能求得一个根，即接近退化解的那个根。 (B) 做变换，代入方程（1），可得， （4） 此时，小参数不在最高次幂项上。设此时解具有如下形式的渐进展开式， （5） 将其代入（4）式，可得 （6） 比较两边的同幂次项系数，得到 或 所以，可得方程（1）的另外两个解， 至此，方程（1）三个根的渐进展开式为： ② 上述三个渐进解分别与准确解和数值解的比较分析。 （1）采用Matlab的符号工具箱，求得方程（1）的三个准确解分别为（其中epsilon表示）： x(1) = 1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)+2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3) x(2) = -1/12/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)) x(3)= -1/12/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)) 当时， x(1) = 1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3) x(2) = -1/6*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-5/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)) x(3) = -1/6*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-5/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)) 当时， x(1) = 1/3*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+100/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3) x(2) = -1/6*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-50/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(