辽宁省沈阳市高二数学《排列》课件2.pptVIP

第 二 节　 排 列 定义 主要内容 性质 作为定义 n 级行列式的准备，我们先来讨论一 下排列的定义及性质. 一、定义 定义1　由1, 2, … , n 组成的一个有序数组称为 一个 n 级排列. 例如，2431是一个 4 级排列，45231是一个 5 级 排列. 我们知道，n 级排列的总数是 我们记 读为 n 阶乘. 例如： n! 随着 n 的增大迅速地增大. 例如, 10! = 3628800 . 显然 12…n 也是一个 n 级排列，这个排列具有 自然顺序，就是按递增的顺序排起来的； 其他的排 都或多或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中, 如果一对数的前后 位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总 数就称为这个排列的逆序数. 排列 j1 j2 … jn 的逆序数记为 ? (j1 j2 … jn) . 定义 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例 1 求排列 的逆序数. 解 在排列 中构成逆序的 数对为 所以这个排列的逆序数为 排列的奇偶性: 奇排列 偶排列 应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同 的自然数所组成的排列，一般地也称为 n 级排列. 对这样一般的 n 级排列，同样可以定义上面这些概 念. 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的 数不动，就得到另一个排列. 这样一个变换称为一 个对换. 例如，经过1, 2对换，排列2431就变成了 1432，排列2134就变成了1234. 显然，如果连续施行两次相同的对换，那么 排列就还原了. 由此得知, 一个对换把全部 n 级排列 两两配对 , 使每两个配成对的 n 级排列在这个对换 下互变. 二、性质 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 证明 先证相邻对换的情形. 设排列为 a1 … alabb1 …bm,对换 a 与 b ,则 排列变为a1 … albab1 …bm. 显然, 排列 a1 … al 和 b1 …bm 经对换后的逆序数并不改变, 而 a , b 这 两个元素的逆序数改变为: 当ab时,经对换后 a 的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变; 当ab时,经 对换后 a 的逆序数不变而 b 的逆数减少 1. 所以 奇偶性不同. 排列a1 … alabb1 …bm 与排列 a1 … albab1 …bm的 再证一般对换的情形. 设排列为 a1 … alab1…bmbc1…cn ,把它作 m 次相邻对换,调成 a1 … alabb1…bmc1…cn ,再作 m+1 次相邻对换,调成a1 … albb1…bmac1…cn . 之,经 2m+1 次相邻对换,排列 a1 … alab1…bmbc1…cn 所以这两个排列的奇偶性相反. 证毕 调成排列 a1 … albb1…bmac1…cn, 定理 2 任意一个 n 级排列与排列12 …n 都 可经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这 个排列有相同的奇偶性. 证明 我们对排列的级数 n 作数学归纳法， 现在来证任意一个 n 级排列都可经过一系列对换 变成12 …n . 1 级排列只有一个，结论显然成立. 假设结论对 n - 1 级排列已经成立，现在来证对 对 n 级排列的情形结论也成立. 设 j1 j2 … jn 是一个 n 级排列，如果 jn = n，那 么根据归纳法假设， n - 1 级排列 j1 j2 … jn-1 可以经 过一系列对换变成 12 …n-1，于是这一系列对换也 就把 j1 j2 … jn 变成了12 …n . 如果 jn ? n，那么对 j1 j2 … jn 作 jn , n 对换，它就变成 j1? j2? … j ?n-1 n，这 相仿地，12…n 也可用一系列对换变成 j1 j2 … jn ，因为12…n 是偶排列，所以根据 作对换的个数与排列 j1 j2 … jn 有相同的奇偶性. 证毕 就归结成上面的情形，因此结论普遍成立. 所