函数的极值与最值.pptVIP

* * 函数的极值与最值 一、函数的极值 二、函数的最大值与最小值 在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题. 一、函数的极值 定义　设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于x0的x都有 (1) 成立，则称 为f(x)的极大值，称 为f(x)的极大值点； (2) 成立，则称 为f(x)的极小值，称 为f(x)的极小值点. 极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点. 定理4.9(极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则 由4.1引理可知定理4.9成立. 注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点. 例如 为其驻点，但是x=0不是 的极值点. 还要指出，有些函数的不可导的点也可能是其极值点，例如图中所示的函数在点 处不可导，但 为其极小值. 由上述可知，欲求函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再用下面的充分条件判别: 定理4.10(判定极值的第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0连续，且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻域内 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号，则x0不是f(x)的极值点. 因此可知x0为f(x)的极大值点. 对于情形(2)也可以进行类似分析. 分析 对于情形(1)，由函数单调性的判别定理可知， 当 时，f(x)严格单调增加； 当 时，f(x)严格单调减少， (3)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理4.10判定xi是否为f(x)的极值点. 由定理判定函数极值一般步骤为： 令 ，得函数的两个驻点：x1= –1，x2=2. 内存在，函数的两个驻点x1= –1，x2=2把 分成 三个子区间. 例1 所给函数的定义域为 . 解 极小值 –10 极大值 y + 0 – 0 + 2 (–1,2) –1 x 可知x=0为y的极小值点，极小值为0. 例2 所给的函数定义域为 . 解 非极值 极小0 y + 0 + 0 – 1 (0,1) 0 x 例3 所给的函数定义域为 . 解 – (0,1) 极小值 0 1 极大值 ０ 极小值 y + 不存在 + 0 – 0 (–1,0) –1 x 定理4.11(判定极值的第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 则 证 由于f(x)在x0处二阶可导，且 ，由佩亚诺型余项的泰勒公式有 当x充分接近于x0时，易见，上式右端 的符号取决于 . 当二阶导数易求，且驻点x0处的二阶导数 时，利用判定极值的第二充分条件判定驻点 x0 是否为极值点比较方便. 例4 所给的函数定义域为 . 解 上述求函数极值与极值点的方法可总结为: 欲求连续函数f(x)的极值点，需 (1) 求出f(x)的定义域. (4) 如果函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点. (2) 求出 .在f(x)的定义域内求出f(x)的全部驻点及导数不存在的点. (3) 判定在上述点两侧 的符号，利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点. 二、函数的最大值与最小值 由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知，如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必定能取得最大值与最小值.如何求出连续函数在闭区间上的最大值、最小值是本段的基本问题. 求[a,b]上连续函数的最大值、最小值的步骤： (1)求出f(x)的所有位于(a,b)内