第二章 命题逻辑的等值和推理演算.pptVIP

第二章 命题逻辑的等值和推理演算 推理形式和推理演算是数理逻辑研究的基本内容 推理过程是从前提出发，根据所规定的规则来推导出结论的过程 重言式是重要的逻辑规律，正确的推理形式，等值式都是重言式。 本章对命题等值和推理演算进行讨论，是以语义的观点进行的非形式的描述，不仅直观且容易理解，也便于实际问题的逻辑描述和推理。 严格的形式化的讨论见第三章所建立的公理系统。 2.1 等值定理 若把初等数学里的＋、－、×、÷等运算符看作是数与数之间的联结词，那么由这些联结词所表达的代数式之间，可建立许多等值式如下： x2－y2 = (x＋y)(x－y) (x＋y)2 = x2＋2xy＋y2 sin2x＋cos2x = 1 …… 在命题逻辑里也同样可建立一些重要的等值式。 2.1.1 等值的定义 给定两个命题公式A和B, 而P1…Pn是出现于A和B中的所有命题变项, 那么公式A和B共有2n个解释, 若对其中的任一解释, 公式A和B的真值都相等, 就称A和B是等值的(或等价的)。记作A = B或A ? B。 显然，可以根据真值表来判明任何两个公式是否是等值的。 例1: 证明(P∧?P)∨Q = Q 证明: 画出(P∧?P)∨Q与Q的真值表可看出等式是成立的。 例2: 证明P∨?P = Q∨?Q 证明: 画出P∨?P, Q∨?Q的真值表, 可看出它们是等值的, 而且它们都是重言式。 从例1、2还可说明, 两个公式等值并不要求它们一定含有相同的命题变项。若仅在等式一端的公式里有变项P出现, 那么等式两端的公式其真值均与P无关。例1中公式(P∨?P) ∨Q与Q的真值都同P无关, 例2中P∨?P, Q∨?Q都是重言式, 它们的真值也都与P、Q无关。 2.1.2 等值定理 定理 对公式A和B, A = B的充分必要条件是A ? B是重言式。 若A ? B为重言式(A、B不一定都是简单命题, 可能是由简单命题P1, …, Pn构成的对A, B的一个解释, 指的是对P1, …, Pn的一组具体的真值设定), 则在任一解释下A和B都只能有相同的真值, 这就是定理的意思。 证明 若A ? B是重言式, 即在任一解释下, A ? B的真值都为T。依A ? B的定义只有在A、B有相同的值时, 才有A ? B = T。于是在任一解释下, A和B都有相同的真值, 从而有A=B。反过来，若有A = B, 即在任一解释下A和B都有相同的真值, 依A ? B的定义, A ? B只有为真, 从而A ? B是重言式。 有了这个等值定理，证明两个公式等值，只要证明由这两个公式构成的双条件式是重言式即可。 不要将“＝”视作联结词，在合式公式定义里没有“＝”出现。A = B是表示公式A与B的一种关系。这种关系具有三个性质: 1. 自反性 A = A。 2. 对称性 若A = B则B = A。 3. 传递性 若A = B, B = C则A = C。 这三条性质体现了“＝”的实质含义。 2.2 等值公式 2.2.1 基本的等值公式(命题定律) 1. 双重否定律 ??P = P 2. 结合律 (P∨Q) ∨R = P∨(Q∨R) (P∧Q) ∧R = P∧(Q∧R) (P ? Q) ? R = P ? (Q ? R) 3. 交换律 P∨Q = Q∨P P∧Q = Q∧P P ? Q = Q ? P 4. 分配律 P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨(P∧R) P?(Q?R) = (P?Q)?(P?R) 5. 等幂律(恒等律) P∨P = P P∧P = P P?P = T P?P = T 6. 吸收律 P∨(P∧Q) = P P∧(P∨Q) = P 7. 摩根律 ?(P∨Q) = ?P∧?Q ?(P∧Q) = ?P∨?Q 对蕴涵词、双条件词作否定有 ?(P?Q) = P∧?Q ?(P?Q) = ?P?Q = P??Q = (?P∧Q)∨(P∧?Q) 8. 同一律 P∨F = P P∧T = P T?P = P T?P = P 还有 P?F = ?P F?P = ?P 9. 零律 P∨T = T P∧F = F 还有 P?T = T F?P = T 10. 补余律 P∨?P = T P∧?P = F 还有 P??P = ?P ?P?P = P P??P = F 所有这些公式，都可使用直值表加以验证。 Venn图 若使用Venn图也容易理解这些等值式, 这种图是将P、Q理解为某总体