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第三节 泰勒 (Taylor) 公式 问题的提出 Pn (x) 的确定 泰勒公式 简单的应用 小结、作业 一、问题的提出 多项式的两个突出的优点： 1、 结构简单、易于计算； 五、小结 在 x0 的 n 阶可导函数在 x0 的n阶近似多项式存在且唯一，就是泰勒多项式； 佩亚诺型余项的泰勒公式常用于讨论函数的局部性质； 拉格朗日型余项的泰勒公式常用于讨论函数的整体性质． 作 业 第三章 习题二 一、1～3；二、1，2； 三、1～5；四、1，2． * 1/23 2/23 2、分析性质极佳． ——因此，应用广泛． 问题 3/23 二、Pn(x)的确定 4/23 泰勒系数 三、泰勒公式 5/23 泰勒公式 佩亚诺型余项 6/23 佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式 如果 f (x) 在 x0 点处 n 阶可导，则有 泰勒公式 拉格朗日型余项 拉格朗日中值公式 7/23 泰勒中值定理 如果 f (x) 在含 x0的 (a, b)内 n +1阶可导, 其中 (? 在 x 与 x0 之间). 则当 x?(a, b) 时,有 (拉格朗日型余项的泰勒公式) 证 8/23 9/23 注 10/23 四、简单的应用 解 代入公式 , 得 误差 11/23 12/23 记住! n=1时： 13/23 sin x 的麦氏多项式对 sin x 的近似情况： n=3时： 14/23 sin x 的麦氏多项式对 sin x 的近似情况： n=5时： 15/23 sin x 的麦氏多项式对 sin x 的近似情况： n=11时： 16/23 sin x 的麦氏多项式对 sin x 的近似情况： 解 17/23 例2 求 18/23 *注 *例3 19/23 注 利用泰勒公式可以将函数与其高阶导数联系起来．在利用高阶导数的性质讨论函数的整体性质时，常可用到拉格朗日型余项的泰勒公式（即泰勒中值定理）． 例4 证 20/23 证 21/23 22/23 继续证： 23/23 * * * * *
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