2015年《高考风向标》高考文科数学一轮复习第十三章第5讲直线、平面垂直的判定与性质.pptVIP

* 第 5 讲 直线、平面垂直的判定与性质 1. 直线与平面垂直 任意 垂直 相交 (1)定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面 内的_____一条直线都_____，那么这条直线和这个平面垂直． (2)判定方法： ①利用定义； ②判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条____直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③其他方法： a．如果两条____直线中的一条垂直于一个平面，那么另一 条直线也垂直于这个平面； 平行 平行 交线 b．如果一条直线垂直于两个_____平面中的一个，那么也 垂直于另一个平面； c．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 ____的直线垂直于另一个平面； 相交 d．如果两个____平面都和第三个平面垂直，那么相交平面 的_____也垂直于第三个平面； 交线 平行 (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____． 2．平面与平面垂直 (1)定义：相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面． (2)判定方法： ①利用定义； ②判定定理：如果一个平面经过另一个平面的____，那么 这两个平面互相垂直； 垂线 交线 (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于它们_____的直线垂直于另一个平面． 3．直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成 的角等于 0°. (2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于 90°. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜 线与平面所成的角，其范围是(0°，90°)．斜线与平面所成的 _______是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角． 线面角 4．二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角．从 二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角 是直角的二面角叫做________． 直二面角 1．垂直于同一条直线的两条直线一定( ) D A．平行 C．异面 B．相交 D．以上都有可能 2．A、B 为空间两点，l 为一条直线，则过 A、B 且垂直于 l 的平面( ) B A．不存在 C．有且只有 1 个 B．至多 1 个 D．有无数个 ) D 3．若 P 是平面α外一点，则下列命题正确的是( A．过 P 只能作一条直线与平面α相交 B．过 P 可作无数条直线与平面α垂直 C．过 P 只能作一条直线与平面α平行 D．过 P 可作无数条直线与平面α平行 4．平面α的斜线 AB 交α于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交α于点 C，则动点 C 的轨迹是_________． 5．如图 13－5－1，四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长 为 a 的正方形，侧棱 PA ＝a，PB＝PD＝ ，则它的 5 个面中， 互相垂直的面有____对． 图 13－5－1 一条直线 5 考点 1 线面垂直的判定与性质应用 图 13－5－5 例1：如图 13－5－5，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥ 平面 ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB 于 E，AF⊥PC 于 F，求证： (1)BC⊥平面 PAB； (2)AE⊥平面 PBC； (3)PC⊥平面 AEF. 解题思路：整理已知中垂直条件，利用线面垂直的判定定 理可得到一系列的线面垂直． 解析：(1)∵PA ⊥平面 ABC，∴PA ⊥BC. ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC. 又 PA ∩AB＝A，∴BC⊥平面 PAB. (2)∵BC⊥平面 PAB，且 AE? 平面 PAB，∴BC⊥AE. 又∵PB⊥AE，且 BC∩PB＝B，∴AE⊥平面 PBC. (3)∵AE⊥平面 PBC，∴AE⊥PC. 又∵AF⊥PC，且 AE∩AF＝A，∴PC⊥平面 AEF. 利用线面垂直的判定定理是证明线面垂直最 基本的方法，应注意线线垂直与线面的关系和转化． 【互动探究】 1．如图 13－5－6，在四棱锥 P－ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E 是 PC 的中 点．证明： 图 13－5－6 (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. 证明：(1)在四棱锥 P－ABCD 中， ∵PA ⊥底面 ABCD，CD? 平面 ABCD，∴PA ⊥CD. ∵AC⊥CD，PA ∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE? 平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由